Força de Lorentz

De Viquipèdia

Electrostàtica

Electromagnetisme
Electricitat · Magnetisme
Càrrega elèctrica
Llei de Coulomb
Camp elèctric
Llei de Gauss
Potencial elèctric
Moment dipolar elèctric
Magnetostàtica
Llei d'Ampère
Camp magnètic
Flux magnètic
Llei de Biot-Savart
Moment magnètic
Electrodinàmica
Corrent elèctric
Força de Lorentz
Força electromotriu
Inducció electromagnètica
Llei de Faraday
Corrent de desplaçament
Equacions de Maxwell
Camp electromagnètic
Radiació electromagnètica
Circuit elèctric
Conducció elèctrica
Resistència elèctrica
Capacitància
Inductància
Impedància
Edita

La força de Lorentz.

En física, la força de Lorentz és la força exercida sobre una partícula carregada que es mou en un camp electromagnètic. Rep el seu nom en honor al físic holandès Hendrik Lorentz.

Taula de continguts

1 Definició
2 La Força de Lorentz a la Relativitat Especial
3 Forma covariant de la força de Lorentz
- 3.1 Derivació
4 Aplicacions
5 Vegeu també

[edita] Definició

Donada una càrrega elèctrica puntual $q$ en moviment amb velocitat $\mathbf{v}$ per una regió caracteritzada per la presència d'un camp electromagnètic $\mathbf{B}$ , la partícula carregada experimentarà una força qE deguda al camp elèctric i una força qv × B deguda al camp magnètic segons la següent equació:

$\mathbf{F} = q (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}),$

on:

F és la força (en newtons)

E és el camp elèctric (en volts per metre)

B és el camp magnètic (en webers per metre quadrat, o en tesles)

q és la càrrega elèctrica de la partícula (en coulombs)

v és la velocitat instantània de la partícula (en metres per segon)

i $\times$ és el producte vectorial.

En conseqüència, una partícula carregada positivament serà accelerada en la mateixa orientació lineal que el camp E, però es corbarà perpendicularment al camp B d'acord amb la regla de la mà dreta.

[edita] La Força de Lorentz a la Relativitat Especial

Quan la velocitat d'una partícula s'aproxima a la velocitat de la llum, l'equació de la força de Lorentz s'ha de modificar d'acord amb la relativitat especial:

${d \left ( \gamma m \mathbf{v} \right ) \over dt } = \mathbf{F} = q (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}),$

$\gamma \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{|\mathbf{v}|^2}{c^2}}}$

s'anomena factor de Lorentz i $c$ és la velocitat de la llum al buit.

Aquesta expressió difereix de l'obtinguda de la força de Lorentz com un factor de $γ$ .

El canvi d'energia degut als camps és

${d \left ( \gamma m c^2 \right ) \over dt } = q \mathbf{E} \cdot \mathbf{v} .$

[edita] Forma covariant de la força de Lorentz

L'equació de la força de Lorentz es pot escriure en forma covariant, en termes de tensor d'intensitat de camp.

$\frac{d p^\alpha}{d \tau} = q u_\beta F^{\alpha \beta}$

τ

és c vegades el temps propi de la partícula,

q és la càrrega elèctrica,

u és la quadrivelocitat de la partícula, definida com:

$u_\beta = \left(u_0, u_1, u_2, u_3 \right) = \gamma \left(c, v_x, v_y, v_z \right) \,$ i

F és el tensor d'intensitat de camp o tensor electromagnètic i en termes dels camps s'escriu com:

$F^{\alpha \beta} = \begin{bmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{bmatrix}$ .

Els camps es transformen en un quadre que es mou a velocitat relativa constant segons:

$\acute{F}^{\mu \nu} = {\Lambda^{\mu}}_{\alpha} {\Lambda^{\nu}}_{\beta} F^{\alpha \beta} ,$

on ${\Lambda^{\mu}}_{\alpha}$ és la transformació de Lorentz.

[edita] Derivació

El component $μ = 1$ de la força és

$\gamma \frac{d p^1}{d t} = \frac{d p^1}{d \tau} = q u_\beta F^{1 \beta} = q\left (-u^0 F^{10} + u^1 F^{11} + u^2 F^{12} + u^3 F^{13} \right) .\,$

Aquí, $τ$ és el temps propi de la partícula. Substituint els components del tensor electromagnètic F dona

$\gamma \frac{d p^1}{d t} = q \left(-u^0 \left(\frac{-E_x}{c} \right) + u^2 (B_z) + u^3 (-B_y) \right) \,$

Escrivint la quadrivelocitat en termes de velocitat ordinària dona

$\gamma \frac{d p^1}{d t} = q \gamma \left(c \left(\frac{E_x}{c} \right) + v_y B_z - v_z B_y \right) \,$

$\gamma \frac{d p^1}{d t} = q \gamma \left( E_x + \left(\mathbf{v} \times \mathbf {B} \right)_x \right) .\,$

El càlcul de $μ = 2$ o $μ = 3$ és similar donant

$\gamma \frac{d \mathbf{p} }{d t} = \frac{d \mathbf{p} }{d \tau} = q \gamma \left (\mathbf{E} + (\mathbf{v} \times \mathbf{B})\right) \,$ ,

que és la llei de la força de Lorentz.

[edita] Aplicacions

La força de Lorentz és un principi que s'aprofita en molts dispositius com ara:

Ciclotró i d'altres accelerador de partícules de tipus circular.
Generador homopolar
Magnetró
Propulsor magnetoplasmadinàmic
Espectròmetre de masses

La força de Lorentz també pot actuar sobre un conductor que transporta un corrent elèctric, en aquest cas s'anomena força de Laplace (vegeu la Llei de Biot-Savart), per efecte de la interacció entre la conducció d'electrons amb els àtoms del material conductor. Aquesta força s'utilitza en dispositius com: