Calcolo infinitesimale

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Il calcolo infinitesimale è un corpo di conoscenze matematiche che studia il "comportamento locale" di una funzione tramite la nozione di limite.

Le funzioni a cui si applica sono a variabile reale o complessa. Tramite la nozione di limite, il calcolo infinitesimale definisce e studia le nozioni di convergenza di una successione o di una serie, continuità, derivata e integrale. Il calcolo infinitesimale è alla base dell'analisi matematica ed è uno strumento usato in quasi tutti i campi della matematica e della fisica e della scienza in generale.

[modifica] Panoramica

Il calcolo infinitesimale si avvale di nozioni riguardanti la geometria analitica, la trigonometria, i sistemi di equazioni lineari e i polinomi. I suoi confini non sono nettamente definiti: dal punto di vista del matematico si può considerare che esso mutui le sue nozioni e i suoi metodi da vari settori della matematica che si possono definire in modo più netto e soddisfacente. Tra questi vanno ricordati la teoria delle successioni e delle serie, la topologia degli spazi metrici, le funzioni di variabile reale, le funzioni analitiche, la teoria dell'integrazione e la teoria della misura, le funzioni speciali (a partire da esponenziale, logaritmo e funzioni trigonometriche), l'analisi armonica.

Tuttavia questo corpo di conoscenze ha grande importanza e conviene sia messo in evidenza, in quanto fornisce la base concettuale e metodologica per la effettuazione di un'ampia varietà di calcoli all'interno della matematica (in geometria, in meccanica, in statistica, ...) e per lo sviluppo di modelli continui di fenomeni e processi fisici, astronomici, tecnologici, economici, ... . La conoscenza del calcolo infinitesimale quindi costituisce un bagaglio culturale di primaria importanza e sul piano storico lo sviluppo del calcolo infinitesimale può a buon diritto considerarsi un processo fondamentale per la storia del pensiero scientifico e, più in generale, per la storia delle idee. È significativo osservare che nella lingua inglese il calcolo infinitesimale viene chiamato calculus per antonomasia.

[modifica] Cenni storici

[modifica] Antica Grecia

Il calcolo infinitesimale è stato inizialmente sviluppato nel mondo scientifico greco ed ellenistico del IV e del III secolo AC per opera di Eudosso di Cnido (metodo di esaustione) e di Euclide fino al raggiungimento di risultati di piena maturità con Archimede. Con il successivo progressivo decadimento della scienza nell'area mediterranea, occorre attendere l'opera dei matematici indiani Bhaskara (1114-1185), Madhava di Sangamagrama (1350-1425) e scuola del Kerala per avere innovazioni come il teorema noto come teorema di Rolle, il passaggio al limite per una variabile tendente all'infinito e la manipolazione di alcune serie. Purtroppo questi sviluppi sono stati del tutto ignorati nel mondo europeo. Similmente sono stati ignorati fino a tempi recenti i risultati del matematico giapponese Kowa Seki (1642 ca.-1708) che per primo ha sviluppato i metodi fondamentali del calcolo integrale.

[modifica] XVI secolo

Per uno sviluppo sistematico del calcolo infinitesimale occorre attendere il periodo del recupero europeo dello spirito scientifico ellenistico nel secolo XVI (Tartaglia) e soprattutto nel secolo XVII. Dopo gli avanzamenti dovuti a Isaac Barrow, Cartesio, Pierre de Fermat, Christiaan Huygens e John Wallis, negli anni dal 1670 al 1710, ad opera principalmente di Newton e Leibniz vengono posti i fondamenti del calcolo infinitesimale moderno e viene raggiunta la piena consapevolezza della sua portata per lo sviluppo di metodi e modelli per lo studio quantitativo degli oggetti dell'indagine scientifica. Nel secolo XVIII si assiste all'ampliamento dei metodi e delle applicazioni, con i Bernoulli, Eulero, Lagrange, Laplace, pur nella mancanza di fondamenti rigorosi. Una prima revisione critica dei fondamenti viene sviluppata da Cauchy intorno al 1821 sulla base della nozione di limite introdotta da D'Alembert nel 1765.

[modifica] XIX secolo

Per opera dello stesso Cauchy e di matematici come Poisson, Liouville, Fourier gli obiettivi dell'analisi infinitesimale si ampliano a comprendere l'analisi complessa, le equazioni alle derivate parziali e l'analisi armonica. Intorno al 1850 Riemann introduce la teoria dell'integrale che porta il suo nome.

Intorno al 1860 Dedekind precisa la nozione di numero reale (che occorre notare, costituisce un altro recupero di una nozione ellenistica, ben chiara negli Elementi di Euclide). Questa consente che, intorno al 1870, venga precisata la definizione delle basi del calcolo infinitesimale per opera di Karl Weierstrass e di vari altri matematici (Eduard Heine, Georg Cantor, Charles Meray, Camille Jordan, ...). Da allora le idee e le tecniche di calcolo infinitesimale fanno parte del bagaglio essenziale per chi si dedica alla scienza e alla tecnologia.

[modifica] XX secolo

All'inizio del XX secolo vengono sviluppate teorie che forniscono basi più generali, astratte ed efficaci per lo studio dei problemi infinitesimali. Basti ricordare la teoria assiomatica degli insiemi (scuola di David Hilbert), la teoria della misura (Henri Lebesgue), la nozione spazio di Hilbert, la nozione di spazio normato e quindi la definizione dell'analisi funzionale principalmente per opera di Stefan Banach.

Un tentativo di rifondare l'analisi sugli infinitesimi, recuperando su basi logiche più rigorose la semplicità del metodo di Leibniz, fu quello di Abraham Robinson che nel 1966 introdusse l'Analisi non standard.