Limite di una successione

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Il limite di una successione è uno dei concetti fondamentali dell'analisi matematica.

Tramite questo concetto viene formalizzato rigorosamente il concetto di "insieme di punti che si avvicinano sempre di più ad un punto dato". Tali punti possono essere punti sulla retta reale, sul piano in un più generale spazio euclideo o metrico.

L'esempio più semplice è dato dalla successione di numeri $1 / n$ :

$1,\frac 1 2,\frac 1 3,\frac 1 4,\frac 1 5, \ldots$

che si avvicinano sempre di più a zero.

Un concetto analogo, ma differente, è quello di limite di funzione. In entrambi i casi si analizza il comportamento di un oggetto matematico che "si avvicina" ad un dato valore: mentre in una successione l'oggetto matematico è un insieme discreto di punti, in una funzione questo è un insieme continuo.

[modifica] Definizioni formali

[modifica] Limite in $\mathbb{R}$

Un numero reale $a$ è il limite di una successione di numeri reali ${a n}$ se la distanza fra i numeri $a n$ ed $a$ è arbitrariamente piccola quando $n$ è sufficientemente grande. La distanza fra $a n$ ed $a$ è data dal valore assoluto $| a n - a |$ .

In altre parole, $a$ è il limite della successione se

Per ogni $ε > 0$ esiste un numero naturale $N$ tale che $| a n - a | < ε$ per ogni $n > N$ .

In questo caso si scrive

$\lim_{n \to +\infty}a_n = a$

e si dice che la successione converge ad $a$ . Se $a = 0$ , la successione è detta infinitesima.

La definizione di limite può essere estesa al caso $a = \pm \infty$ nel modo seguente: la successione ${a n}$ ha limite $\infty$ se raggiunge valori arbitrariamente alti, cioè se

Per ogni $M > 0$ esiste un numero naturale $N$ tale che $a n > M$ per ogni $n > N$ .

Analogamente, ha limite $-\infty$ se $a n < - M$ per ogni $n > N$ . In entrambi i casi si dice che la successione è divergente o convergente a $\pm\infty$ .

Per il teorema di unicità del limite, una successione può avere un limite (finito o infinito) oppure nessuno (non può quindi averne più di uno).

[modifica] Limite in spazi metrici

In uno spazio metrico $(X, d)$ , dove $d$ è la funzione distanza, un punto $x$ di $X$ è il limite di una successione ${x n} n$ se

$\forall\epsilon>0 \;\exists N:\forall n>N \;d(x_n,x)<\epsilon$

Questa definizione coincide in $\mathbb{R}$ con quella descritta sopra, se $\R$ è considerato con la usuale metrica euclidea, definita da $d (a, b) = | a - b |$ .

[modifica] Limite in spazi topologici

In uno spazio topologico $(X,Σ)$ , un punto $x$ è limite di una successione ${x n} n$ se

$\forall V \in\Sigma :x \in V \;\exists N: \forall n>N \; x_n \in V$

[modifica] Esempi

La successione $a n = 1 / (n 2)$ converge a 0

$1,\, \frac 1 4,\,\frac 1 9,\,\frac 1 {16},\,\ldots$
La successione

$a_n = \left(1+\frac 1n\right)^n$

è convergente. Il suo limite è il numero di Nepero $e = 2.71828\ldots$
La successione a segni alterni $a n = ( - 1) n$ non è convergente

$+1, -1, +1,-1, \ldots$
La successione $a n = n$ è divergente (tende a $+ \infty$ )

$1,2,3,4,\ldots,$

[modifica] Proprietà di base

[modifica] Limitatezza

Per il teorema di limitatezza, una successione ${a n}$ convergente ad un limite finito $a$ è limitata, ovvero esiste un $K$ tale che $| a n | < K$ per ogni $n$ .

D'altra parte, una funzione limitata non è necessariamente convergente: si veda ad esempio la successione $a n = ( - 1) n$ .

Una successione divergente (cioè con limite $\pm \infty$ ) non è mai limitata. D'altro canto, esistono però funzioni non limitate che non sono divergenti: ad esempio la successione $a n = ( - 1) n n$

$-1,2,-3,4,-5,\ldots$

oppure la successione

$1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6,0,\ldots$

[modifica] Permanenza del segno

Per il teorema della permanenza del segno, se una successione ${a n}$ converge ad un limite strettamente positivo $a > 0$ (che può essere anche $+\infty$ ), questa ha definitivamente soltanto termini positivi. In altre parole, esiste un $N$ tale che $a n > 0$ per ogni $n > N$ .

Analogamente, una successione che converge ad un limite strettamente negativo ha definitivamente soltanto termini negativi. Una successione che converge a zero può avere infiniti termini di ambo i segni, ad esempio $a n = ( - 1) n / n$ :

$-1,\frac 1 2,-\frac 1 3, \frac 1 4,-\frac 1 5, \frac 1 6,\ldots$

[modifica] Ancora sul segno

D'altro canto, non è vero in generale che una successione ${a n}$ di termini positivi $a n > 0$ convergente debba avere un limite strettamente positivo $a > 0$ : ad esempio, la successione $a n = 1 / n$ è fatta di termini positivi, ma converge a zero.

È però vero che una tale successione debba avere un limite $a \geq 0$ : se infatti avesse un limite negativo $a < 0$ , per la permanenza del segno appena descritta dovrebbe avere infiniti termini negativi.

[modifica] Valori assoluti

Se una successione ${a n}$ converge ad un limite (finito o infinito) $a$ , la successione dei valori assoluti ${ | a n | }$ converge al valore assoluto del limite $| a |$ .

Non è vero l'enunciato opposto: esistono successioni non convergenti, i cui valori assoluti però convergono. Ad esempio, la successione $a n = ( - 1) n$ .

[modifica] Successione monotona

Per il teorema di esistenza del limite di successioni monotone, una successione monotona ${a n}$ converge sempre ad un limite (che può essere infinito). Il limite è dato dall'estremo superiore (se è monotona crescente) o inferiore (se è decrescente) dei valori della successione. In altre parole, nel caso crescente:

$\lim_{n\to\infty}a_n = \sup_n \{a_n\}.$

Tale limite è finito quindi se e solo se la successione è limitata.

Il fatto che $a n$ sia monotona e converga ad un limite $a$ è spesso espresso con una freccia

$a_n \uparrow a\!\,$ oppure $a_n \downarrow a\!\,$ .

[modifica] Manipolazioni di successioni

[modifica] Sottosuccessioni

Una sottosuccessione di una successione ${a n}$ è ottenuta prendendo un sottoinsieme infinito di questa, e si indica con $\{a_{n_k}\}$ . Vale la proprietà seguente:

Una successione è convergente se e solo se ogni sua sottosuccessione è convergente.

[modifica] Somma e prodotto di successioni

Se ${a n}$ e ${b n}$ sono successioni convergenti, con

$\lim_{n \to +\infty}a_n = a$ , $\lim_{n \to +\infty}b_n = b$

limiti finiti, allora:

$\lim_{n \to +\infty}(c \cdot a_n) = c\cdot a \qquad \forall c\in\R$
$\lim_{n \to +\infty}(a_n \pm b_n) = a \pm b$
$\lim_{n \to +\infty}(a_n \cdot b_n) = a \cdot b$
$\lim_{n \to +\infty}{a_n \over b_n} = {a \over b} \qquad \mbox{se } b_n \neq 0\ \forall n,\ b \neq 0$

Queste proprietà sono valide in alcuni casi anche per limiti $a, b$ infiniti, purché l'operazione richiesta non sia una forma indeterminata. Ad esempio,

$a + \infty = + \infty\,\!$
$a -\infty = -\infty\,\!$
$+ \infty + \infty = + \infty\,\!$
$- \infty - \infty = - \infty\,\!$

e se $a \neq 0$ , anche

$a \cdot \infty = \infty$
${a \over 0} = \infty$
${a \over \infty} = 0$

con i segni opportuni calcolati con la usuale regola del prodotto.

[modifica] Confronto fra successioni

Un metodo classico per ottenere informazioni sulla convergenza di una successione consiste nel confrontare questa con un'altra, il cui comportamento è già noto.

[modifica] Confronto fra due successioni

Se due successioni $a n$ e $b n$ convergono ai limiti $a$ e $b$ , e se $a_n \geq b_n$ per ogni $n$ , allora $a \geq b$ .

Per mostrare questo fatto, basta prendere la successione $a n - b n$ , che è fatta di termini maggiori o uguali a zero, e per le proprietà dei limiti rispetto alle operazioni converge a $a - b$ : quindi per il teorema della permanenza del segno $a-b \geq 0$ , ovvero $a\geq b$ .

[modifica] Teorema del confronto (o dei carabinieri)

Il teorema del confronto (o dei carabinieri) per le successioni asserisce che una successione "stretta fra due successioni" convergenti allo stesso limite converge anch'essa a questo limite. Formalmente, se ${a n},{b n}$ e ${c n}$ sono tre successioni tali che

$a_n \leq b_n \leq c_n$

per ogni $n$ , e se

$\lim_{n \to +\infty}a_n = \lim_{n \to +\infty}c_n = l$

allora anche

$\lim_{n \to +\infty}b_n = l.$

Ad esempio, la successione

$b_n = {\cos n \over n}$

è "stretta" fra le successioni $a n = - 1 / n$ e $c n = 1 / n$ , poiché

$-1 \leq \cos n \leq 1$

per ogni $n$ . Poiché entrambe $a n$ e $c n$ sono infinitesime (convergono cioè a zero), anche $b n$ è infinitesima.

[modifica] Criterio di convergenza di Cauchy

Una successione di Cauchy è una successione ${a n}$ , i cui valori "si avvicinano sempre di più" fra loro. Formalmente, per ogni $ε > 0$ esiste $N$ tale che:

| a n - a m | < ε

per ogni

n, m > N .

Per il criterio di convergenza di Cauchy, una successione di numeri reali è convergente se e solo se è di Cauchy.

La proprietà essenziale dei numeri reali che rende possibile questo fatto è la completezza. Infatti il criterio non vale per i numeri razionali, che non sono completi: una successione di numeri razionali di Cauchy non è necessariamente convergente ad un numero razionale (ma lo è ad un numero reale). Ad esempio,

$a_n = \left(1+\frac 1n\right)^n$

è una successione di Cauchy di numeri razionali convergenti al numero irrazionale $e$ di Nepero.

[modifica] Confronti tra infiniti e infinitesimi

Per approfondire, vedi la voce Stima asintotica.

[modifica] Voci correlate

Analisi matematica

Calcolo infinitesimale: Numero reale · Successione · Limite ( di una funzione · di una successione ) · Funzione continua · Serie

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Categoria: Successioni