Teorema di unicità del limite

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Il teorema di unicità del limite è un teorema di matematica, e più precisamente di analisi. Assume forme diverse a seconda dei contesti, ed in ciascuno di questi afferma che non possono esserci due limiti distinti. Si applica soprattutto a successioni e funzioni.

[modifica] Successioni

[modifica] Enunciato

Il teorema di unicità del limite per le successioni asserisce che

Una successione ${a n}$ di numeri reali non può avere due limiti distinti.

In altre parole, se la successione ha un limite, questo è unico.

[modifica] Dimostrazione

Supponiamo che $l 1, l 2$ siano limiti della successione ${a n}$ . Mostreremo che $l 1 = l 2$ .

Per la definizione di limite, per ogni $ε > 0$ esistono $N 1$ ed $N 2$ tali che $| a i - l 1 | < ε$ per ogni $i > N 1$ , e $| a i - l 2 | < ε$ per ogni $i > N 2$ . Sia $N$ il massimo tra $N 1$ e $N 2$ . Allora per ogni $i > N$ abbiamo

| l 1 - l 2 | < | a i - l 1 | + | a i - l 2 | < 2ε

per la disuguaglianza triangolare. Quindi $| l 1 - l 2 | < 2ε$ per ogni $ε > 0$ , e quindi $| l 1 - l 2 | = 0$ . Quindi $l 1 = l 2$ .

[modifica] Generalizzazioni

Il teorema vale (con analoga dimostrazione) anche per qualsiasi successione di punti in uno spazio metrico. Più in generale, vale in qualsiasi spazio topologico di Hausdorff.

[modifica] Funzioni

[modifica] Enunciato

Il teorema di unicità del limite per le funzioni asserisce che

Una funzione $f:X\to\R$ definita su un aperto $X$ dei numeri reali non può avere due limiti distinti in un punto $x 0$ di accumulazione per $X$ .

In altre parole, se la funzione ha limite in $x 0$ , questo è unico.

[modifica] Dimostrazione

Supponiamo che $l 1, l 2$ siano limiti della funzione in $x 0$ . Mostreremo che $l 1 = l 2$ , ragionando per assurdo e supponendo quindi che $l 1$ e $l 2$ siano distinti. Allora esistono due intorni $V 1$ di $l 1$ e $V 2$ di $l 2$ disgiunti.

Per definizione di limite, esistono due intorni $U 1$ e $U 2$ di $x 0$ per cui vale:

f (x)

appartiene a

V 1

per ogni

x

in $U_1 \cap X$ diverso da

x 0

f (x)

appartiene a

V 2

per ogni

x

in $U_2 \cap X$ diverso da

x 0

L'insieme $U_1 \cap U_2$ è un altro intorno di $x 0$ , quindi contiene un punto $x$ di $X$ diverso da $x 0$ : per questo punto, $f (x)$ è contemporaneamente in $V 1$ e $V 2$ , che però sono disgiunti: questo è assurdo.

[modifica] Generalizzazioni

Il teorema vale (con analoga dimostrazione) anche per qualsiasi funzione $f:X\to Y$ fra spazi metrici, come ad esempio lo spazio euclideo $\R^n$ o un qualsiasi suo sottoinsieme. Più in generale, vale per funzioni fra spazi topologici, con l'ipotesi che il codominio $Y$ sia di Hausdorff.

[modifica] Osservazione

L'ipotesi nell'enunciato generale che il codominio sia uno spazio di Hausdorff (come $\R^n$ con l'usuale topologia euclidea) è la chiave di tutto il teorema. Infatti in uno spazio non di Hausdorff in generale non vale l'unicità del limite. Basti vedere quest'esempio:

Sia $X = \R$ con la topologia euclidea, mentre $Y=(\R,\Tau)$ con la topologia della semicontinuità inferiore, cioè i cui aperti sono le semirette destre; sia $f:X \to Y , f(x)=x^2$ . Allora la funzione ammette infiniti limiti, in particolare:

$\lim_{x \to 0} f(x)= a$ , per ogni $a \leq 0$ .

Infatti, scelto un qualsiasi $a \leq 0$ , i suoi intorni sono gli insiemi del tipo $[a-r, +\infty)$ , con $r$ > 0, dunque essi contengono l'immagine di un qualsiasi intorno dello 0 dato secondo la topologia euclidea, cioè degli intervalli $[ - ε,ε]$ , restringendo opportunamente il raggio $ε$ .