Punto di accumulazione
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In matematica il concetto di punto di accumulazione è uno dei concetti principali dell'analisi matematica e della topologia.
Indice |
[modifica] La retta reale
Dato un punto x sulla retta reale ed un sottoinsieme A di questa retta, si dice che x è un punto di accumulazione per A se ogni intorno di x contiene punti di A distinti da x. Intuitivamente questo significa che se facciamo uno zoom su x continuiamo a vedere punti di A (diversi da x) a qualsiasi livello di ingrandimento.
[modifica] Generalizzazioni
La nozione di punto di accumulazione è generalizzata agli spazi metrici e topologici; in entrambi i casi un punto x0 è di accumulazione per un insieme S se l'insieme S contiene punti "arbitrariamente vicini" ad x0. La nozione di "arbitrariamente vicino" è formalizzata in modo appropriato, a seconda che lo spazio sia munito di una metrica o soltanto di una topologia.
[modifica] Spazi topologici
In topologia un punto x0 appartenente ad uno spazio topologico (X,T) è un punto di accumulazione (o punto limite) per un sottoinsieme S di X se qualsiasi aperto A contenente x0 interseca S in almeno un punto diverso da x0. In simboli:
[modifica] Spazi metrici
In uno spazio metrico, se si considera la topologia naturale indotta dalla metrica, la definizione introdotta precedentemente è equivalente alla seguente:
dove D(x0,r) è la palla di raggio r e centro x0. In altre parole, ogni palla centrata in x0 interseca S in qualche punto diverso da x0.
Nel caso di spazi metrici, se x0 è punto di accumulazione per S, allora è possibile trovare punti di S, distinti da x0 a distanza arbitrariamente piccola da x0. Dunque in ogni intorno di x0 cadono infiniti punti di A.
[modifica] Nozioni correlate
L'insieme dei punti di accumulazione di S è detto insieme derivato di S e si indica di solito con S'.
[modifica] Voci correlate
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