Teorema di Bolzano-Weierstrass
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Teorema: Teorema di Bolzano-Weierstrass
Ogni 
, limitato e infinito possiede almeno un punto di accumulazione.
Il teorema di Bolzano-Weierstrass afferma che ogni successione reale limitata ha una sottosuccessione convergente.
Il teorema è una conseguenza della seguente proposizione:
Ogni successione reale (
) ha una sottosuccessione (
) con
[modifica] Dimostrazione
Si dimostra la proposizione da cui segue il teorema:
Poniamo 
e 
Dimostriamo la proposizione solo nel caso che sia limitato. Poniamo 
.
Si può trovare un 
tale che
Ora possiamo scegliere
e k2 > l2 con 
e k3 > l3 con 
e kn > ln con 
(1)
Si nota che 
è una sottosuccessione di 
e 
è una sottosuccessione di 
.
poiché 
(Si veda la definizione di limite superiore per approfondimenti).
per la (1) (Teorema del confronto)
Quindi 
, dimostrando così la proposizione.
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