Eulero

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	« Eulero calcolava senza sforzo apparente, così come gli uomini respirano o le aquile si sostengono nel vento »
	( François Arago, attribuita)

Eulero a 49 anni, dipinto da Emanuel Handmann (1756)

Leonhard Euler - noto in Italia come Eulero - (Basilea, 15 aprile 1707 – San Pietroburgo, 18 settembre 1783) è stato un matematico e fisico svizzero. È considerato il più importante matematico dell'Illuminismo. Allievo di Johann Bernoulli, è noto per essere tra i più prolifici di tutti i tempi ed ha fornito contributi storicamente cruciali in svariate aree: analisi infinitesimale, funzioni speciali, meccanica razionale, meccanica celeste, teoria dei numeri, teoria dei grafi.

Eulero è stato senz'altro il più grande fornitore di "denominazioni matematiche", offrendo il suo nome a una quantità impressionante di formule, teoremi, metodi, criteri, relazioni, equazioni. In geometria: il cerchio, la retta e i punti di Eulero relativi ai triangoli, più la relazione di Eulero, che riguardava il cerchio circoscritto a un triangolo; nella teoria dei numeri: il criterio di Eulero, l' indicatore di Eulero, l' identità di Eulero, la congettura di Eulero; nella meccanica: gli angoli di Eulero, il carico critico di Eulero (per instabilità); nell'analisi: la costante di Eulero-Mascheroni; in logica: il diagramma di Eulero-Venn; nella teoria dei grafi: (di nuovo) la relazione di Eulero; nell'algebra: il metodo di Eulero (relativo alla soluzione delle equazioni di quarto grado); nel calcolo differenziale: il metodo di Eulero (riguardante le equazioni differenziali).

Sempre a Eulero si legano altri oggetti matematici, attraverso l'aggettivo "euleriano", quali: il ciclo euleriano, il grafo euleriano, la funzione euleriana di prima specie o funzione beta, e quella di seconda specie o funzione gamma, la catena euleriana di un grafo senza anse, i numeri euleriani (differenti dai Numeri di Eulero).

Anche se fu prevalentemente un matematico dette importanti contributi alla fisica e in particolare alla meccanica classica e celeste. Per esempio sviluppò l'equazione di fascio di Eulero-Bernoulli e le equazioni di Eulero-Lagrange. Inoltre determinò le orbite di molte comete.

Eulero tenne contatti con numerosi matematici del suo tempo; in particolare tenne una lunga corrispondenza con Christian Goldbach confrontando con lui alcuni dei propri risultati. Egli inoltre seppe coordinare il lavoro di altri matematici che gli furono vicini: i figli Johann Albrecht Euler e Christoph Euler, i membri dell'Accademia di San Pietroburgo W. L. Krafft e Anders Johan Lexell e il suo segretario Nicolaus Fuss (che era anche il marito di sua nipote); a tutti i collaboratori riconobbe i meriti.

Complessivamente esistono 886 pubblicazioni di Eulero. Buona parte della simbologia matematica tutt'ora in uso venne introdotta da Eulero, per esempio i per i numeri immaginari, Σ come simbolo per la sommatoria, f(x) per indicare una funzione. Diffuse l'uso della lettera π per indicare pi greco.

[modifica] Vita

[modifica] Infanzia

La banconota svizzera da 10 franchi (in uso dal 1976 al 1995) onora Eulero, il matematico svizzero che ha avuto più successo.

Eulero nacque a Basilea figlio di Paul Euler, un pastore protestante, e di Marguerite Brucker. Ebbe due sorelle di nome Anna Maria e Maria Magdalena. Poco dopo la nascita di Leonhard, la famiglia si trasferì a Riehen, dove Eulero passò la maggior parte dell'infanzia. Paul Euler era amico della famiglia Bernoulli, e di Johann Bernoulli, uno dei più famosi matematici d'Europa, che ebbe molta influenza su Leonhard. Eulero entrò all'università di Basilea tredicenne e si laureò in filosofia. A quel tempo riceveva anche lezioni di matematica da Johann Bernoulli, che aveva scoperto il suo enorme talento. Il padre di Eulero voleva che diventasse un teologo e gli faceva studiare il greco e l'ebraico. Fortunatamente Bernoulli convinse il padre di Eulero che egli era destinato alla carriera matematica. Nel 1726 Eulero completò il suo dottorato sulla propagazione del suono e, nel 1727, partecipò al Grand Prix dell'Accademia francese delle scienze. Il problema di quell'anno riguardava il miglior modo di disporre gli alberi su di una nave. Arrivò secondo subito dopo Pierre Bouguer ora riconosciuto come il padre dell'architettura navale. Eulero comunque vinse quel premio ben dodici volte nella sua vita.

[modifica] San Pietroburgo

In quegli anni i due figli di Johann Bernoulli, Daniel e Nicolas lavoravano all'Accademia Imperiale delle scienze di San Pietroburgo. Nel 1726, Nicolas morì e Daniel prese la cattedra di matematica e fisica del fratello, lasciando vacante la sua cattedra in medicina. Per questa fece quindi il nome di Eulero, che accettò.

1957 francobollo dell'Unione Sovietica per commemorare il 250° compleanno di Eulero.

Eulero arrivò nella capitale russa nel 1727. Poco tempo dopo passò dal dipartimento di medicina a quello di matematica. In quegli anni alloggiò con Daniel Bernoulli con cui avviò un'intensa collaborazione matematica. Grazie alla sua incredibile memoria Eulero imparò facilmente il russo. L'Accademia più che un luogo d'insegnamento era un luogo di ricerca. Pietro il Grande infatti aveva creato l'Accademia per richiudere il divario scientifico tra la Russia e l'Occidente. Dopo la morte di Caterina I che aveva continuato la politica di Pietro venne al potere Pietro II. Questi, sospettoso degli scienziati stranieri, tagliò i fondi di Eulero e i suoi colleghi. Nel 1734, il matematico sposò Katharina Gsell, figlia di un pittore. La giovane coppia si trasferì in una casa vicino al fiume Neva. Ebbero ben tredici figli dei quali però solo cinque sopravvissero.

[modifica] Berlino

Francobollo della Repubblica Democratica Tedesca per commemorare il 200° anniversario della morte di Eulero .

I continui tumulti in Russia avevano stancato Eulero che amava una vita più tranquilla. Gli fu offerto un posto all'Accademia di Berlino da Federico il Grande di Prussia. Eulero accettò e partì per Berlino nel 1741. Visse a Berlino per i successivi 25 anni. In tale lasso di tempo pubblicò ben 380 articoli, oltre che alle sue due opere principali l' Introductio in analysin infinitorum, del 1748 e l'Institutiones calculi differentialis (1765). In quel periodo Eulero fece anche da tutore alla principessa di Anhalt-Dessau, nipote di Federico. Le scriverà oltre 200 lettere riguardanti le scienze. Furono pubblicate in un libro che vendette moltissimo: Lettere a una principessa tedesca. Il libro, la cui popolarità testimonia una forte capacità divulgatrice del matematico, fornisce anche molte informazioni sulla sua personalità e sulle sue credenze religiose. Nonostante Eulero arrecasse un'enorme prestigio all'Accademia, dovette però allontanarsi da Berlino per un conflitto col Re. Egli infatti lo riteneva troppo poco raffinato per la sua corte, in cui alloggiava addirittura Voltaire. Eulero era infatti un religioso semplice e un gran lavoratore e aveva idee e gusti molto convenzionali. Era, in un certo senso, l'esatto opposto di Voltaire e questo lo rendeva bersaglio delle battute del filosofo.

[modifica] Deterioramento della vista

Un ritratto di Eulero di Emanuel Handmann dove si nota la sua cecità

La vista di Eulero peggiorò molto durante la sua carriera. Dopo aver sofferto di una febbre cerebrale, nel 1735 diventò quasi cieco all'occhio destro. Tra le cause di questa cecità, Eulero annoverò il lavoro scrupoloso di cartografia che effettuò per l'Accademia di San Pietroburgo. La vista di Eulero da quell'occhio peggiorò così tanto durante il suo soggiorno in Germania che Federico II lo soprannominò "il mio Ciclope". Successivamente Eulero soffrì di cataratta all'occhio sinistro, e questo lo rese quasi completamente cieco. Nondimeno, il suo stato ebbe scarso effetto sul suo rendimento: compensò la vista con le sue abilità mentali di calcolo e memoria fotografica. Per esempio, Eulero poteva ripetere l'Eneide di Virgilio dall'inizio alla fine senza esitazione e dire la prima e l'ultima riga di ogni pagina dell'edizione in cui l'aveva imparata. Dopo la perdita della vista, Eulero fu aiutato da Nicolaus Fuss, che gli fece da segretario.

[modifica] Ritorno in Russia

Tomba di Eulero nel Monastero di Alexander Nevsky.

In Russia la situazione politica si stabilizzò e Caterina la Grande, salita al potere e nel 1766, lo invitò a San Pietroburgo. Egli accettò e ritornò in Russia dove restò fino alla sua morte. Il suo soggiorno fu inizialmente funestato da un evento tragico: nel 1771, mentre lavorava nel suo studio per San Pietroburgo si propagò un incendio. Eulero, praticamente cieco, non se ne accorse fino a quando il suo ufficio non fu completamente avvolto dalle fiamme. Fu portato fortunosamente in salvo insieme a gran parte della sua biblioteca, ma tutti i suoi appunti andarono in fumo.

Nel 1773 perse la moglie, ancora quarantenne. Si risposò tre anni dopo. Il 18 settembre 1783, in una giornata come le altre, in cui discusse del nuovo pianeta Urano appena scoperto, scherzò col nipote e gli fece lezione, fu colto improvvisamente da un'emorragia cerebrale e morì poche ore dopo. Aveva 76 anni. Il suo elogio funebre fu scritto da Nicolaus Fuss e dal filosofo e matematico Marquis de Condorcet, che commentò sinteticamente:

(FR) « il cessa de calculer et de vivre »	(IT) « ha cessato di calcolare e di vivere »

[modifica] Contributi matematici di Eulero

[modifica] Notazione matematica

Leonhard Euler

Eulero introdusse moltissime notazioni in uso ancora oggi: tra queste, $f (x)$ per la funzione, l'attuale notazione per le funzioni trigonometriche come seno e coseno, e la lettera greca Σ per la sommatoria. Per primo usò la lettera $e$ per indicare la base dei logaritmi naturali, un numero reale che ora è appunto chiamato anche numero di Eulero, e la lettera i per indicare l'unità immaginaria. L'uso della lettera greca π per indicare pi greco, introdotto all'inizio del XVIII secolo da William Jones, diventò standard dopo l'utilizzo che ne fece Eulero.

[modifica] Analisi complessa

Eulero diede importanti contributi all'analisi complessa. Scoprì quella che è oggi chiamata formula di Eulero:

$e^{i\phi} = \cos \phi + i\sin \phi \!.$

Da questa ricavò l'identità di Eulero

$e^{i \pi} +1 = 0 \,.$

Questa formula, ritenuta da Richard Feynman "la più bella formula di tutta la matematica", collega armoniosamente cinque numeri estremamente importanti: e, π, i, 1 e 0.

[modifica] Analisi

L'analisi era il campo di studio principale del XVIII secolo e i Bernoulli, amici di Eulero, erano i principali esperti del settore. Scopo principale di Eulero era catturare l'infinito, effettuare operazioni ancora non ben formalizzate, quali somme e prodotti di un numero infinito di numeri. Benché tali operazioni fossero al tempo mancanti di una solida base formale (data oggi dal concetto di limite di una successione e dalla struttura assiomatica dei numeri reali) e le sue dimostrazioni non fossero quindi completamente rigorose, portarono comunque a numerosi risultati corretti che fecero fare all'analisi un grosso passo in avanti.

Per prima cosa Eulero introdusse il concetto di funzione, l'uso della funzione esponenziale e dei logaritmi. Trovò i modi di esprimere le varie funzioni logaritmiche in termini di serie e definì i logaritmi per i numeri complessi e negativi, espandendone notevolmente la portata.

Eulero calcolò quindi il risultato di un certo numero di serie importanti, anche se, come è stato accennato, a quel tempo il significato di "somma e/o prodotto di infiniti termini" non era ancora rigorosamente formalizzato. Ad esempio,

$e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots$

Scoprì anche lo sviluppo dell'arcotangente

$\arctan z = \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}.$

Nel 1735 risolse il Problema di Basilea

$\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$

Successivamente trovò la forma chiusa per la somma dell'inverso di ogni potenza pari. Definì così in modo implicito la funzione zeta di Riemann. Studiando questa funzione scoprì in seguito il Prodotto di Eulero e suggerì per primo la formula di riflessione per la funzione zeta.

Inoltre Eulero introdusse la Funzione gamma e un nuovo metodo per risolvere l'equazione di quarto grado. Trovò un metodo per calcolare gli integrali usando i limiti complessi. Introdusse la costante di Eulero-Mascheroni definita come:

$\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n} - \ln(n) \right).$

Eulero inoltre aprì la strada all'applicazione di metodi analitici nella teoria dei numeri: unì due rami disparati della matematica ed introdusse un nuovo campo dello studio, la teoria analitica dei numeri. Per esempio Eulero dimostrò l'infintità dei numeri primi partendo dalla divergenza della serie armonica.

Infine, Eulero contribuì enormemente alla nascita del calcolo delle variazioni con le equazioni di Eulero-Lagrange.

[modifica] Teoria dei numeri

Il grande interesse di Eulero alla teoria dei numeri fu acceso dal suo amico Christian Goldbach. Molto del suo lavoro sulla teoria dei numeri riguarda la dimostrazione (o confutazione) delle molte congetture di Pierre de Fermat.

Eulero provò la correlazione tra numeri primi e funzione zeta di Riemann scoprendo la formula prodotto di Eulero. Provò poi le identità di Newton, il piccolo teorema di Fermat, il teorema di Fermat sulle somme di due quadrati e diede importanti contributi alla risoluzione del teorema dei quattro quadrati e alla comprensione dei numeri perfetti. Inventò la funzione phi di Eulero φ(n) che assegna a ogni numero naturale il numero di numeri minori di esso e coprimi ad esso. Con questa funzione generalizzò il piccolo teorema di Fermat (teorema di Eulero). Eulero congetturò inoltre la legge della reciprocità quadratica.

Uno dei più grandi successi di Eulero in questo campo fu però la dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat per il caso particolare in cui n=3, ossia la dimostrazione che la somma di due cubi non può essere uguale a un cubo. Questa dimostrazione è effettuata per discesa infinita e fa uso anche dei numeri complessi.

[modifica] Teoria dei grafi e topologia

Mappa di Konigsberg con i sette ponti messi in evidenza

Nel 1736 Eulero risolse il problema dei ponti di Königsberg. La città di Königsberg, (ora Kaliningrad) è percorsa dal fiume Pregel e da suoi affluenti e presenta due estese isole che sono connesse tra di loro e con le due aree principali della città da sette ponti. La questione è se sia possibile con una passeggiata seguire un percorso che attraversa ogni ponte una e una volta sola e tornare al punto di partenza. Eulero dimostrò che la passeggiata ipotizzata non era possibile a causa del numero dispari di nodi che congiungevano gli archi (ossia delle strade che congiungevano i ponti). La soluzione di Eulero diede origine alla teoria dei grafi, che si sarebbe poi evoluta dando origine alla topologia^[1].

Eulero introdusse poi la formula per i poliedri convessi che unisce il numero dei vertici V, degli spigoli S e delle facce F nella cosiddetta relazione di Eulero:

V - S + F = 2.

Più in generale, il numero $χ = V - S + F$ è una costante importante, definita per molti enti geometrici (ad esempio, per i poligoni è $χ = 1$ ), chiamata caratteristica di Eulero. Fu studiata da Cauchy (che tra l'altro diede la prima dimostrazione rigorosa della relazione di Eulero) ed estesa successivamente da Poincaré a molti oggetti topologici (quali ad esempio il toro, che ha $χ = 0$ ).

[modifica] Geometria analitica

Eulero diede anche importanti contributi alla geometria analitica come la formulazione delle equazioni che descrivono il cono, il cilindro, e le varie superfici di rotazione. Dimostrò anche che la geodetica passante per due punti in una qualsiasi superficie si trasforma nella retta passante per quei due punti se la superficie viene appiattita. Fu il primo a considerare tutte le curve insieme senza una predilezione per le coniche e a studiare a fondo anche le curve generate da funzioni trascendenti come la sinusoide.

Svolse anche un importante lavoro di classificazione delle curve e delle superfici. Nell'Introductio in analysin infinitorum si trova poi una completa ed esauriente trattazione delle coordinate polari che vengono esposte nella forma moderna. Per ciò, ancora oggi, spesso si indica erroneamente Eulero come l'inventore di questo sistema di notazione.

Dimostrò anche un paio di semplici teoremi di geometria pura, come per esempio l'affermazione che il circocentro, il baricentro e l'ortocentro di un triangolo sono sempre allineati. In suo onore tale retta fu chiamata retta di Eulero.

[modifica] Matematica applicata

Alcuni dei successi più grandi di Eulero furono nell'applicazione di metodi analitici a problemi reali, con l'uso di Diagrammi di Venn, numeri di Eulero, costanti, frazioni continue e integrali. Integrò il calcolo integrale di Leibniz con il metodo delle flussioni di Newton il che gli rese più facile risolvere alcuni problemi fisici. In particolare, contribuì allo studio delle approssimazione degli integrali con vari risultati, tra cui il metodo di Eulero e la formula di Eulero-Maclaurin.

[modifica] Teoria musicale

Fra i contributi meno noti di Eulero vi è anche un tentativo di formulare una teoria musicale su basi interamente matematiche. A questo è dedicato il suo trattato Tentamen novae theoriae musicae del 1739^[2], e numerosi altri scritti. Questo lavoro si inserisce in un filone della ricerca matematica a cui avevano già contribuito Marin Mersenne e Cartesio, e che sarà successivamente ripreso da Jean d'Alembert, Hermann von Helmholtz e altri. Nel suo Elogio di Leonhard Euler (1783), il suo assistente Nikolaus Fuss definì quel trattato

	« Un'opera profonda, piena di nuove idee presentate da un punto di vista originale; ciononostante non ha goduto di grande popolarità, poiché contiene troppa geometria per i musicisti, e troppa musica per i matematici. »

[modifica] Fisica e astronomia

Eulero contribuì a sviluppare l'equazione di fascio di Eulero-Bernoulli, una pietra miliare dell'ingegneria. Eulero non solo risolse con successo molti problemi fisici ma, ebbe l'idea di applicare le stesse tecniche alla meccanica celeste. Realizzò vari lavori astronomici quali la determinazione esatta delle orbite delle comete e di altri corpi celesti, ed il calcolo della parallasse del Sole.

[modifica] Principi filosofici e religiosi

Molto di ciò che sappiamo sulla filosofia di Eulero ci arriva dalle Lettere a una principessa tedesca.

Anche se fu il più grande matematico del periodo illuminista le idee di Eulero erano molto distanti dall'illuminismo. Era infatti un religioso fervente e una persona semplice. Eulero era protestante e si interessava anche di teologia. Ciò è dimostrato da alcuni suoi testi come Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister (Difesa delle rivelazioni Divine contro le obiezioni dei liberi pensatori). Fa notare John Derbyshire nel suo L'ossessione dei numeri primi:

	« Ci è stato raccontato che Eulero mentre viveva a Berlino "tutte le sere riuniva la famiglia e leggeva un capitolo della Bibbia, che accompagnava con una preghiera". E questo accadeva mentre frequentava una corte alla quale, secondo Macaulay, "l'assurdità di tutte le religioni conosciute fra gli uomini" era l'argomento principale della conversazione. »
	(John Derbyshire, L'ossessione dei numeri primi)

[modifica] Curiosità

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Un aneddoto vuole che mentre Eulero si trovava alla corte russa, arrivasse lì Denis Diderot. Il filosofo, che incitava all'ateismo, chiese beffardamente a Eulero se avesse una dimostrazione matematica dell'esistenza di Dio. Eulero rispose: "Signore, $\begin{matrix}\frac{a+b^n}{n}=x\end{matrix}$ , quindi Dio esiste!". Diderot, che (secondo la storia) non capiva la matematica, rimase disorientato e non poté confutare la prova, abbandonando la corte il giorno dopo. L'aneddoto è quasi certamente falso dal momento che Diderot era un matematico capace^[3].

[modifica] Opere

Mechanica, sive motus scientia analytica exposita (1736)
Tentamen novae theoriae musicae (1739)
Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (1741)
Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti (1744)
Introductio in analysin infinitorum (1748)
Institutiones calculi differentialis (1765)
Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (1765)
Institutiones calculi integralis (1768-1770)
Vollständige Anleitung zur Algebra (1770) (traduzione in francese)
Lettres à une Princesse d'Allemagne (1768-1772) (t. 1, t. 2, t. 3)

[modifica] Note

^ Alexanderson, Gerald (Luglio 2006). Euler and Königsberg's bridges: a historical view. Bulletin of the American Mathematical Society.
^ Il testo di questo volume si può trovare qui
^ Brown, B.H. (May 1942). The Euler-Diderot Anecdote. The American Mathematical Monthly 49 (5): 302-303.

[modifica] Bibliografia

Filippo Di Venti e Alberto Mariatti. Leonhard Euler tra realtà e finzione. Bologna, Pitagora, 2000. ISBN 88-371-1202-5.
John Derbyshire. L'ossessione dei numeri primi: Bernhard Riemann e il principale problema irrisolto della matematica. Torino, Bollati Boringhieri, 2006. ISBN 88-339-1706-1.
Carl Boyer. Storia della Matematica. Milano, Mondadori, 1990. ISBN 88-04-33431-2.
William Dunham. Euler, the master of us all. The Mathematical Association of America, 1999. ISBN 0883853280. (EN)
Ioan Mackenzie James. Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann. Cambridge, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0521520940. (EN)
John Simmons. The giant book of scientists: The 100 greatest minds of all time. Sydney, The Book Company, 1997. (EN)

[modifica] Voci correlate

[modifica] Altri progetti

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Wikiquote contiene citazioni di o su Eulero

[modifica] Collegamenti esterni

Biography in MacTutor
Euler Archive, dove si possono trovare i facsimili delle edizioni originali delle opere di Eulero, in formato PDF.

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