Sommatoria

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La sommatoria è un simbolo matematico che abbrevia in una notazione sintetica, la somma di un certo numero di addendi. La notazione prevede:

una lettera sigma maiuscola: $Σ$
una lettera speciale chiamata indice della sommatoria (in genere si usano le lettere k, i, j o n minuscole)
un'espressione algebrica alla destra della Sigma in cui può comparire l'indice della sommatoria
un intervallo di valori (interi) in cui può variare l'indice da indicare sopra e sotto la sigma.

Nel caso più generale possibile abbiamo quindi una scrittura del tipo

$\sum_{k=N}^M f(k)$

dove N e M sono dei numeri interi. La scrittura si legge "sommatoria per k che va da N a M di f(k)". Con questa notazione si indica la somma di tutti gli addendi che si ottengono sostituendo all'indice k di f(k) tutti i valori interi che vanno dal numero N al numero M. Ad esempio

$\sum_{k=4}^{10} k^2 = 4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2+10^2$ .

È possibile definire una sommatoria anche non solo a sequenze di numeri interi, ma a condizioni logiche arbitrarie, come ad esempio

∑	f(p)
p \| n

dove la somma si estende a tutti i numeri primi che dividono un dato numero n.

Se il numero di addendi è infinito, la sommatoria è detta serie.

Per lo sviluppo di alcune sommatorie vi sono poi dei metodi particolarmente veloci da applicare, ad esempio l'identità

$\sum_{k=0}^{n} k = \frac {n(n+1)}{2}$

con n naturale non nullo.

Nella matematica del continuo, l'equivalente della sommatoria è l'integrale il cui simbolo nasce appunto dalla deformazione del simbolo di sommatoria.

Albert Einstein introdusse per matrici e sommatorie una notazione semplificata che da lui prende nome.

Le sommatorie ad un indice (con prodotto o quoziente di due fattori) possono essere indicate senza il simbolo di sommatoria, direttamente col pedice posto sui fattori interessati, facendolo variare da un estremo a piacere (0,1,..) fino all'altro estremo (o fino a infinito se si tratta di una serie).