Notazione di Einstein

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In matematica, e in particolare nelle applicazioni dell'algebra lineare alla fisica la notazione di Einstein o la convenzione di Einstein nelle sommatorie è una notazione convenzionale utile quando si lavora con formule contententi indici di coordinate.

Con questa convenzione, quando un indice di una variabile appare più volte in una formula significa che la formula è una sommatoria al variare di tutti i possibili valori che l'indice può assumere. Nelle applicazioni più comuni l'indice può valere 1,2,3 (per calcoli nello spazio euclideo), o 0,1,2,3 o 1,2,3,4 (per calcoli nello spazio di Minkowski), ma esso può variare in qualsiasi intervallo, compresi insiemi infiniti. La notazione astratta degli indici è uno sviluppo della notazione di Einstein.

Nella relatività generale, sono usati l'alfabeto greco e l'alfabeto romano per distinguere quando si somma su 1,2,3,4 o su 0,1,2,3 (in generale le lettere romane i, j, ... per 1,2,3,4 e quelle greche, μ, ν, ... per 0,1,2,3).

A volte (come nella relatività generale), l'indice appare sia come apice che come pedice; in altre applicazioni tutti gli indici sono al pedice. Vedere spazio vettoriale duale e prodotto tensoriale.

È importante notare che la convenzione di Einstein non ha significato fisico; tuttavia, può aiutare ad identificare relazioni o simmetrie che sono 'nascoste' da convenzioni più comuni.

Nel libro "La teoria della relatività", dopo un paragrafo di introduzione in cui definisce lo spazio-tempo, Einstein dedica un paragrafo ai "Mezzi matematici per la formulazione di equazioni covarianti in modo generale". A valle della definizione di quadrivettore covariante e controvariante, dedica una nota alla "Osservazione sulla scrittura semplificata delle espressioni". Dunque, fu lui stesso a usare la dizione di "notazione semplificata" e i tensori detti prima ne furono la prima applicazione.

A proposito scrive: Un'occhiata alle equazione del presente paragrafo mostra che le sommatorie si effettuano sempre rispetto agli indici che si presentano due volte sotto il segno di somma e unicamente rispetto a indici siffatti. Perciò, è possibile, senza ledere la chiarezza, sopprimere il segno $\sum$ . A tale scopo diamo la seguente regola: " quando un indice si presenta due volte in un termine d'una espressione, occorre sommare rispetto ad esso, salvo il caso che sia esplicitamente indicato il contrario".[...]. Seguendo l'uso introdotto da Levi-Civita, indichiamo il carattere covariante collocando l'indice in basso e quello controvariante collocando l'indice in alto.

[modifica] Introduzione

In meccanica ed ingegneria, i vettori in uno spazio 3D sono spesso descritti in relazione a vettori unitari ortogonali: i, j e k.

$\mathbf{u} = u_x \mathbf{i} + u_y \mathbf{j} + u_z \mathbf{k}$

Se i vettori base i, j, e k sono invece espressi come e₁, e₂, e e₃, un vettore può essere espresso in termini di una sommatoria:

$\mathbf{u} = u_1 \mathbf{e}_1 + u_2 \mathbf{e}_2 + u_3 \mathbf{e}_3 = \sum_{i = 1}^3 u_i \mathbf{e}_i$

Nella notazione di Einstein, un indice che è ripetuto due volte in un'equazione implica una sommatoria, e il simbolo di sommatoria non ha bisogno di essere incluso.

Ciò permette una rappresentazione algebrica sintetica di equazioni vettoriali e tensoriali. Per esempio,

$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i = 1}^3 u_i \mathbf{e}_i \cdot \sum_{j = 1}^3 v_j \mathbf{e}_j = u_i \mathbf{e}_i \cdot v_j \mathbf{e}_j$

o equivalentemente:

$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 1}^3 u_i v_j ( \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j ) = u_i v_j ( \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j )$

dove

$\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j = \delta_{ij}$

e $\ \delta_{ij}$ è il delta di Kronecker, che è uguale a 1 quando i = j, e 0 altrimenti. Logicamente segue che ciò permette di convertire un j nell'equazione in un i, o un i in un j. Allora,

$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_i v_j\delta_{ij}= u_i v_i = u_j v_j$

Per il prodotto vettoriale,

$\mathbf{u} \times \mathbf{v}= \sum_{j = 1}^3 u_j \mathbf{e}_j \times \sum_{k = 1}^3 v_k \mathbf{e}_k = u_j \mathbf{e}_j \times v_k \mathbf{e}_k = u_j v_k (\mathbf{e}_j \times \mathbf{e}_k ) = \epsilon_{ijk} \mathbf{e}_i u_j v_k$

dove $\mathbf{e}_j \times \mathbf{e}_k = \epsilon_{ijk} \mathbf{e}_i$ e $\ \epsilon_{ijk}$ è il simbolo di Levi-Civita definito da:

$\epsilon_{ijk} = \left\{ \begin{matrix} +1 & \mbox{se } (i,j,k) \mbox{ = } (1,2,3), (2,3,1) \mbox{ o } (3,1,2)\\ -1 & \mbox{se } (i,j,k) \mbox{ = } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ o } (2,1,3)\\ 0 & \mbox{altrimenti: }i=j \mbox{ o } j=k \mbox{ o } k=i \end{matrix} \right.$

cui risulta

$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = (u_2 v_3 - u_3 v_2) \mathbf{e}_1 + (u_3 v_1 - u_1 v_3) \mathbf{e}_2 + (u_1 v_2 - u_2 v_1) \mathbf{e}_3$

$\mathbf{u} \times \mathbf{v}= \epsilon_{ijk} \mathbf{e}_i u_j v_k = \sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 1}^3 \sum_{k = 1}^3 \epsilon_{ijk} \mathbf{e}_i u_j v_k$ .

inoltre, se $\mathbf{w} = \mathbf{u} \times \mathbf{v}$ , allora $\mathbf{w} = \epsilon_{ijk} \mathbf{e}_i u_j v_k$ e $\ w_i = \epsilon_{ijk} u_j v_k$ . Questo evidenzia anche che quando un indice appare una volta su entrambi i lati dell'equazione, questo implica un sistema di equazioni invece di una sommatoria:

$\begin{matrix} w_1 = \epsilon_{1jk} u_j v_k\\ w_2 = \epsilon_{2jk} u_j v_k\\ w_3 = \epsilon_{3jk} u_j v_k \end{matrix}$

Alternativamente, questo può essere espresso come

$\mathbf{u} \times \mathbf{v}= \mathbf{u} \cdot \epsilon \cdot \mathbf{v}$

ma questa non è la notazione di Einstein usata.

[modifica] Definizioni astratte

Nell'uso tradizionale, si intende uno spazio vettoriale V con dimensione finita n, e una specifica base di V. Si possono scrivere i vettori della base come e₁, e₂, ..., e_n. Quindi, se v è un vettore di V, ha coordinate v₁, ..., v_n relative a questa base.

La regola di base è:

v = v_i e_i.

In questa espressione, si è supposto che il termine alla destra debba essere sommato quando i varia da 1 a n, perché l'indice i non appare ai due lati dell'espressione.

La i è nota come indice muto dal momento che il risultato non dipende da esso; in questo modo possiamo anche scrivere, per esempio:

v = v_j e_j.

Un indice che non è stato sommato prende il nome di indice libero e deve essere ritrovato in ogni termine dell'equazione o della formula.

In contesti in cui l'indice debba apparire una volta come apice ed una volta come pedice, il vettore di base e_i conserva il pedice ma le coordinate diventano: vⁱ con gli apici. Dunque, la regola base è:

v = vⁱ e_i.

Il valore della convenzione di Einstein è che esso si applica ad altri spazi vettoriali costruiti a partire dallo spazio V usando il prodotto tensoriale e la dualità. Per esempio, $V\otimes V$ , il tensore ottenuto dal prodotto di V con sé stesso, ha una base che consiste di tensori nella forma $\mathbf{e}_{ij} = \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j$ . Ogni tensore T in $V\otimes V$ può essere scritto come:

$\mathbf{T} = T^{ij}\mathbf{e}_{ij}$ .

V*, il duale di V, ha come base e¹, e², ..., eⁿ che obbedisce alla legge:

$\mathbf{e}^i (\mathbf{e}_j) = \delta_{i}^j$ .

Dove δ è il delta di Kronecker, così $\delta_{i}^j$ è 1 if i =j e 0 nell'altro caso.

[modifica] Esempi

La sommatoria di Einstein può essere chiarita con l'aiuto di alcuni esempi. Considerando uno spazio quadri-dimensionale, dove gli indici vanno da 0 a 3, si ha:

a μ b μ = a 0 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3

a μν b μ = a 0ν b 0 + a 1ν b 1 + a 2ν b 2 + a 3ν b 3 .

L'esempio precedente mostra la contrazione, una comune operazione tensoriale. Il tensore $a μν b α$ diventa un nuovo tensore sommando dall'indice superiore a quello inferiore. Tipicamente il tensore risultante è rinominato con gli indici contratti rimossi:

s ν = a μν b μ .

Per un esempio familiare, si consideri il prodotto scalare di due vettori a e b. Il prodotto scalare è definito semplicemente come una sommatoria "lungo" gli indici di a e b:

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a^{\alpha}b_{\alpha} = a^0 b_0 + a^1 b_1 + a^2 b_2 + a^3 b_3,$

che è la formula a noi nota come prodotto scalare tra vettori. Si ricordi che talvolta è necessario cambiare le componenti di a in modo da ridurre il suo indice; comunque, ciò non è necessario nello spazio euclideo, od in un qualunque spazio con una metrica eguale alla sua metrica inversa (ad esempio, lo spazio-tempo piatto)