Prodotto tensoriale

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Il prodotto tensoriale V ⊗ W di due spazi vettoriali V, W, è uno spazio vettoriale che contiene i prodotti di vettori di V e W in un senso universale.

Possiamo pensare ad una applicazione bilineare V × W → L come a un prodotto ⋅ tra vettori di V e W a valori in un terzo spazio vettoriale L (sebbene non necessario, è utile pensarla in questo modo). Se prendiamo un'altro spazio M e un omomorfismo φ : L → M, abbiamo che φ ( v · w ) è un prodotto a valori in M. Risulta che tutti i possibili prodotti su V × W si possono ottenere in questo modo a partire da uno a valori in un certo spazio che indichiamo con V ⊗ W. In altre parole V ⊗ W è uno spazio vettoriale con la proprietà che tutti i possibili prodotti su V × W si possono ottenere con un omomorfismo da V ⊗ W, che per questo motivo viene definito universale. Se v e w sono rispettivamente elementi di V e W si denota con v ⊗ w il prodotto di v e w in V ⊗ W.

Si dimostra che due spazi vettoriali con questa proprietà sono isomorfi.

Per dimostrarne l'esistenza lo si costruisce come spazio quoziente dello spazio vettoriale libero su V×W imponendo le relazioni ovvie per far si che la proiezione composta con l'immersione sia bilineare.

Prendendo poi spazi quozienti del prodotto tensoriale possiamo ottenere, ad esempio, lo spazio universale in cui i prodotti sono simmetrici (basta imporre la relazione v ⊗ w - w ⊗ v = 0, cioè prendere il quoziente ( V ⊗ W ) / K dove K è il sottospazio generato da tutti gli elementi del tipo v ⊗ w - w ⊗ v ) o antisimmetrici (imponendo v ⊗ w + w ⊗ v = 0). Queste costruzioni sono fondamentali in svariati campi (ad esempio permettono di definire le forme differenziali sugli spazi tangenti di varietà differenziali).

La stesso discorso può essere fatto in modo pressoché identico per i moduli (strutture che generalizzano gli spazi vettoriali prendendo gli scalari in un anello invece che in un campo). Come caso particolare possiamo pensare anche al prodotto tensoriale di gruppi abeliani (che sono moduli sull'anello degli interi).

Indice

1 Definizione
- 1.1 Esistenza
2 Proprietà
3 Componenti
4 Forme multilineari e geometria differenziale
5 Prodotto tensoriale di spazi di Hilbert
6 Prodotto tensoriale di moduli
7 Linguaggi di programmazione vettoriali
8 Bibliografia
9 Voci correlate

[modifica] Definizione

Riprendendo quanto detto nell'introduzione, definiamo il prodotto tensoriale di due spazi vettoriali V, W come uno spazio V ⊗ W per cui presa una qualsiasi applicazione bilineare ⋅ : V × W → H esiste un'unico omomorfismo φ : V ⊗ W → H tale che

v ⋅ w = φ ( v ⊗ w ).

Fissati V e W, nella categoria delle applicazioni bilineari su V × W (dove gli oggetti sono le coppie ( H, ρ ), con ρ : V × W → H bilineare, e le frecce (omomorfismi tra oggetti) le trasfomazioni lineari tra i codomini), segue direttamente dalla definizione che ( V ⊗ W, ⊗ ) è un elemento universale. Un risultato ben noto è che l'elemento universale è unico a meno di isomorfismo, cioè gli spazi e rispettive funzioni bilineari con la proprietà che da loro si riescono ad ottene tutti i prodotti su V × W sono isomorfi.

Se V e W hanno dimensione finita, con basi { v _i } _i=1...n e { w _j } _j=1...m rispettivamente, allora si dimostra che tutti i tensori del tipo v _i ⊗ w _j formano una base per V ⊗ W che quindi ha dimensione m n (vedi anche Proprietà).

Si sottolinea che l'elemento generico di V ⊗ W non è della forma v ⊗ w, ma è una somma di tali termini:

∑ v _α ⊗ w _β, con v _α ∈ V, w _β ∈ W.

Segue direttamente dalla definizione che esiste un isomorfismo canonico tra Bil ( V, W; H ) e L ( V ⊗ W, H ). In particolare le forme bilineari sono in corrispondenza con i funzionali di V ⊗ W.

Per spazi a dimensione finita esiste anche un isomorfismo canonico tra lo spazio delle forme bilineari e V * ⊗ W * (vedi Proprietà), importante per l'uso in geometria differenziale dei prodotti tensoriali.

[modifica] Esistenza

Definire il prodotto tensoriale elencandone le proprietà non ci assicura l'esistenza. Per porre rimedio dobbiamo costruire almeno uno spazio che soddisfi la definizione, e se ne esistono altri devono essere isomorfi a questo. Consideriamo lo spazio vettoriale libero F su V × W. Chiamiamo K il sottospazio generato da tutti i vettori del tipo

( α v₁ + β v₂, w ) - α ( v₁, w ) - β ( v₂, w )

( v, α w₁ + β w₁ ) - α ( v, w₁ ) - β ( v, w₂ )

in modo da imporre le relazioni di bilinearità su F. Allora ( F / K , π _º i ), dove π è la proiezione canonica ed i l'immersione di V × W in F, soddifa le richieste ed è un prodotto tensoriale di V e W. La situazione può essere riassunta dal diagramma commutativo

La dimostrazione è immediata, infatti la caratteristica dell'immersione nello spazio libero è che esiste un'unica estensione lineare s di ρ su F, e visto che il nucleo di s contiente K la proprietà della proiezione nello spazio quoziente ci da l'unica applicazione lineare f per cui s = f _º π, cioè esiste un'unica f tale che (chiamando ⊗ la funzione π _º i )

ρ ( v, w ) = s _º i ( v , w ) = f _º π _º i ( v , w ) = f ( v ⊗ w ).

[modifica] Proprietà

Di seguito U, V, W saranno spazi vettoriali su un campo k, ed u, v, w dei loro rispettivi elementi.

( U ⊗ V ) ⊗ W ≅ U ⊗ ( V ⊗ W ) con ( u ⊗ v ) ⊗ w ↔ u ⊗ ( v ⊗ w ). L'applicazione è ben definita perché è assegnato il valore ad un insieme di generatori. Fissiamo u. Sia f_u: V × W → ( U ⊗ V ) ⊗ W la funzione bilineare f_u ( v, w ) = ( u ⊗ v ) ⊗ w. Se la fattorizziamo tramite il prodotto tensoriale (applichiamo la proprietà universale) abbiamo l'applicazione lineare φ_u : V ⊗ W → ( U ⊗ V ) ⊗ W che manda v ⊗ w in ( u ⊗ v ) ⊗ w . Anche la funzione U × ( V ⊗ W ) → ( U ⊗ V ) ⊗ W che manda ( u, v ⊗ w ) in φ_u ( v ⊗ w ) è bilineare e fattorizzandola abbiamo l'omomorfismo voluto. Possiamo costruire in modo analogo l'inversa ottenendo l'isomorfismo.
V ⊗ W ≅ W ⊗ V con v ⊗ w ↔ w ⊗ v. Basta fattorizzare tramite il prodotto tensoriale la funzione bilineare f : V × W → W ⊗ V con f ( v, w ) = w ⊗ v. In modo analogo possiamo ottenere l'inversa. Attenzione: questo non vuole in alcun modo suggerire che in V ⊗ W i due vettori v ⊗ w e w ⊗ v sono uguali, semmai è vero il contrario.
U ⊗ ( V ⊕ W ) ≅ ( U ⊗ V ) ⊕ ( U ⊗ W ) con u ⊗ ( v, w ) ↔ ( u ⊗ v, u ⊗ w ). Questa volta non conviene usare il tipo di dimostrazione dei casi precedenti perché non riusciremmo a costruire l'inversa. Dimostriamo allora che ogni prodotto su U × ( V ⊕ W ) si fattorizza in modo unico tramite ( U ⊗ V ) ⊕ ( U ⊗ W ). L'applicazione φ tra U × ( V ⊕ W ) e ( U ⊗ V ) ⊕ ( U ⊗ W ) che manda ( u, ( v, w ) ) in ( u ⊗ v, u ⊗ w ) è bilineare. Se E è uno spazio vettoriale e ψ un'applicazione bilineare da U × ( V ⊕ W ) in E, possiamo scrivere

ψ ( u, ( v, w ) ) = ψ ( u, ( v, 0 ) ) + ψ ( u, ( 0, w ) )

questo ci da la fattorizzazione tramite φ.
k ⊗ V ≅ V con α ⊗ v ↔ α v. Intuitivamente è quasi ovvio, formalmente dimostriamo che V e la mappa bilineare φ : ( α, v ) → α v soddisfano la proprietà universale. Se ψ : k × V → W è bilineare allora

ψ ( α, v ) = ψ ( 1, α v ) = ψ ( 1, φ ( α, v ) )

fattorizzando in modo unico ψ tramite φ.
k ⁿ ⊗ V ≅ V ⁿ. Segue dalle precedenti.
k ⁿ ⊗ k ^m ≅ k ^nm. Segue dalle precedenti.
Se V e W hanno dimensione finita esiste un isomorfismo canonico V * ⊗ W * ≅ Bil ( V, W; k ) che associa φ ⊗ ψ ad φ ⋅ ψ. Infatti la funzione f ( φ, ψ ) = φ ⋅ ψ è bilineare, quindi possiamo fattorizzarla tramite il prodotto tensoriale per ottere un omorfismo che è surriettivo e quindi anche iniettivo perché i due spazi hanno la stessa dimensione.

[modifica] Componenti

[modifica] Basi e approccio classico ai tensori

Per approfondire, vedi la voce Tensore.

L'approccio universale per la definizione dei tensori è piuttosto recente. Classicamente si usava (e spesso si usa ancora nei corsi di fisica) una costruzione diversa legata alla scelta di basi per V e W. Per spazi a dimensione finita questa è equivalente a quella universale.

Fissate in V e W delle basi, { v _i } _i=1...n e { w _j } _j=1...m, chiamiamo prodotto tensoriale lo spazio vettoriale libero generato dai simboli v _i ⊗ w _j ( in altre parole lo spazio vettoriale che ha come base tutti quegli m n simboli). Questo spazio viene anche chiamato spazio dei tensori controvarianti di secondo ordine.

Ogni c ∈ V ⊗ W è del tipo

c = ∑_{i, j} c^{i j} v _i ⊗ w _j

dove spesso si tralascia il simbolo di sommatoria adottando la convenzione di Einstein (se un indice si trova sia ad apice che a pedice in una espressione allora di deve fare la sommatoria rispetto a quell'indice) e diventa

c = c^{i j} v _i ⊗ w _j.

Se la base è nota dal conteso (e purtroppo anche quando non lo è) si usa direttamente c^{i j} al posto di c per indicare il tensore che ha come componenti c^{i j}.

Se i due spazi sono duali viene tradizionalmente cambiata la posizione degli indici. Lo si fa per poter usare la notazione di Einstein nei calcoli che coinvolgono uno spazio e il suo duale senza fare confusione. In particolare se vogliamo fare il prodotto tensoriale di E * con F * con rispettive basi { ε ⁱ } _i=1...n e { φ ^j } _j=1...m (notare che adesso gli indici per i vettori, o sarebbe meglio dire covettori, sono in alto) allora in componenti indichiamo un tensore con

h = h _{i j} ε ⁱ ⊗ φ ^j.

I tensori h _{i j} sono detti covarianti di secondo ordine.

Si trovano poi i tensori misti, ad esempio quelli dello spazio V ⊗ V * che, fissata la base { v _i } _i=1...n in V e la duale { ε ⁱ } _i=1...n in V *, assumono la forma

k = k_i^j v _j ⊗ ε ⁱ

Queste definizioni per componenti, oltre al problema di fondarsi su delle basi, generano spesso confusione quando il numero degli indici diventa troppo grande. Nonostante ciò, sono il mezzo più efficace nei calcoli.

[modifica] Equivalenza con la definizione universale

Il V ⊗ W definito fissando una base è un prodotto tensoriale in senso universale perché un'applicazione bilineare è determinata dal valore che assume sulle coppie di base ( v _i, w _j ), cioè una volta che sappiamo il valore della funzione su tutte le coppie degli elementi di base

V×W ∋ ( v _i, w _j ) → v _i ⋅ w _j ∈ H

possiamo determinare quanto vale v ⋅ w per ogni coppia ( v, w ) (è un semplice teorema sulle funzioni bilneari per cui basta scrivere v e w in termini dei vettori di base ed espandere per bilinearità). Visto che { v _i ⊗ w _j } è una base per V ⊗ W esiste un'unica applicazione lineare f: V ⊗ W → H che manda

v _i ⊗ w _j → v _i ⋅ w _j,

e, per lo stesso motivo di prima esiste un'unica ⊗: V × W → V ⊗ W bilineare che manda (v _i, w _j) in v _i ⊗ w _j. Ovviamente ⋅ è la composizione di f con ⊗.

[modifica] Cambiamento di base

Possiamo dire che il tensore c ^{i j} è invariante rispetto al sistema di coordinate scelto. Questo è vero nella stessa essenza in cui lo è dire che una matrice che rappresenta una applicazione lineare è indipendente dalla base. Ci sono cioè delle leggi che regolano come devono cambiare le componenti quando si cambiano le basi al fine di rappresentare sempre lo stesso tensore.

Si trovano facilmente: supponiamo di voler cambiare basi e da { v _i } _i=1...n, { w _j } _j=1...m passare ad { a _k } _k=1...n e { b _t } _t=1...m (da notare che sono cambiati i nomi degli indici, cosa fondamentale per non fare confusione). Amettiamo che le matrici di cambiamento di base siano rispettivamente A_i^k ed B_j^t, cioè

v _i = A_i^k a _k

w _j = B_j^t b _t

allora c ^{i j} deve trasformarsi in

c ^{k t} = A_i^k B_j^t c ^{i j}

come si può ottenere estendendo per bilinearità l'espressione

c ^{i j} ( A_i^k a _k ) ⊗ ( B_j^t b _t ).

[modifica] Forme multilineari e geometria differenziale

Per approfondire, vedi la voce Tensore.

I tensori sono i mattoni di base della geometria differenziale, infatti concetti come forme differenziali e campi vettoriali sono casi particolari di campi tensoriali, con cui ad ogni punto p della varietà M si associa un tensore di tipo (m, n) dello spazio tensoriale

T _{m, n}M_p := T_pM ⊗ ... ⊗ T_pM ⊗ T_pM * ⊗ ... ⊗ T_pM *, T_pM preso m volte e T_pM * n volte

Questi prodotti tensoriali hanno in alcuni casi delle interpretazioni geometriche naturali dopo aver fatto un'identificazione con lo spazio delle forme multilineari. Come detto sopra, possiamo pensare ad un tensore di V * ⊗ W * come ad una forma bilineare su V × W tramite la mappa

φ ⊗ ψ → φ ( · ) ψ ( · ), estesa poi per linearità.

Analogamente, con l'identificazione canonica tra V e V **, possiamo pensare ad un tensore di T _{m, n}M_p come ad una forma multilineare su

T_pM * × ... × T_pM * × T_pM × ... × T_pM, T_pM * preso m volte e T_pM n volte.

Ad esempio T _{0, 2}M_p si può interpretare come lo spazio delle forme bilineari sullo spazio tangente a p. Un campo tensoriale g : M → T _{0, 2}M che ad ogni punto associa un prodotto interno (cioè una forma bilineare simmetrica definita positiva) sul relativo spazio tangente viene chiamata metrica Riemanniana. Questa permette di misurare la lunghezza e gli angoli tra vettori tangenti. In una varietà Riemanniana (cioè una varietà differenziale dotata di una metrica Riemanniana) le distanze e le aree hanno localmente un comportamento simile a quello di un normale spazio euclideo.

Prendendo l'opportuno quoziente Λ_nM_p di T _{0, n}M_p abbiamo lo spazio delle forme n -lineari alternanti. Un campo a valori su Λ_nM è quella che comunemente chiamiamo n -forma differenziale.

[modifica] Prodotto tensoriale di spazi di Hilbert

Il prodotto tensoriale di due spazi di Hilbert è un altro spazio di Hilbert, che è definito come descritto di seguito.

[modifica] Definizione

Siano H ₁ e H ₂ due spazi di Hilbert con prodotti interni ( · , · ) ₁ e ( · , · ) ₂ rispettivamente. Si costruisca il prodotto tensoriale H ₁ ⊗ H ₂ di spazi vettoriali come spiegato sopra. Si può dotare questo prodotto tensore di spazi vettoriali di un prodotto interno definendo

( φ ₁ ⊗ φ ₂ , ψ ₁ ⊗ ψ ₂ ) := ( φ ₁ , ψ ₁ ) ₁ · ( φ ₂ , ψ ₂ ) ₂ dove φ ₁, ψ ₁ ∈ H ₁ mentre φ ₂, ψ ₂ ∈ H ₂

ed estenderlo per linarità. Infine, si prenda il completamento rispetto a questo prodotto interno. Il risultato è il prodotto tensore di H₁ e H₂ come spazi di Hilbert.

[modifica] Proprietà

Se H ₁ e H ₂ hanno come base ortonormale { φ _k } e { ψ _l }, rispettivamente, allora { φ _k ⊗ ψ _l } è una base ortonormale per H ₁ ⊗ H ₂.

[modifica] Esempi ed applicazioni

I seguenti esempi mostrano come i prodotti tensori emergano naturalmente.

Assegnati due spazi di misura X e Y, con misure μ e ν rispettivamente, si può studiare L ² ( X × Y ), lo spazio delle funzioni su X × Y che sono a quadrato sommabili rispetto alla misura prodotto μ × ν. Se f e g sono funzioni a quadrato sommabili su X ed Y rispettivamente, si può definire una funzione h su X × Y ponendo h ( x , y ) = f ( x ) g ( y ). La definizione della misura prodotto assicura che tutte le funzioni con questa forma sono a quadrato sommabili, cosicché h definisce una mappa bilineare L ² ( X ) × L ²( Y ) → L ² ( X × Y ).

Anche le combinazioni lineari di funzioni della forma f ( x ) g ( y ) appartengono a L ² ( X × Y ). Risulta infatti che l'insieme delle combinazioni lineari è denso in L ² ( X × Y ), se L ² ( X ) e L ²( Y ) sono separabili. Questo mostra che L ² ( X ) ⊗ L ² ( Y ) è isomorfo a L ² ( X × Y ), e spiega perché si debba prendere il completamento nella costruzione del prodotto tensore fra spazi di Hilbert.

Analogamente, si può mostrare che L ² ( X ; H ), lo spazio delle funzioni a quadrato sommabili X → H, è isomorfo a L ² ( X ) ⊗ H se lo spazio è separabile. L'isomorfismo manda f ( x ) ⊗ φ ∈ L ² ( X ) ⊗ H in f ( x ) φ ∈ L ² ( X ; H ). Possiamo combinare ciò con il precedente esempio e concludere che L ² ( X ) ⊗ L ² ( Y ) e L ² ( X × Y ) sono entrambi isomorfi a L ² ( X ; L² (Y) ).

Il prodotto tensore di spazi di Hilbert ricorre nella meccanica quantistica. Se una particella è descritta dallo spazio di Hilbert H ₁, ed un'altra particella da H ₂, allora il sistema composto dalle due particelle è descritto dal prodotto di H ₁ e H ₂. Per esempio, lo spazio necessario a descrivere un oscillatore armonico quantistico è L ² ( R ), e per descrivere due oscillattori armonici si userà L ² ( R ) ⊗ L ² ( R ), che è isomorfo a L ² ( R² ). Quindi il sistema a due particelle è associato ad una funzione d'onda della forma φ ( x₁, x₂ ). Un esempio più generale è fornito dagli spazi di Fock, che descrivono un sistema con un numero variabile di particelle.

[modifica] Prodotto tensoriale di moduli

Possiamo estendere la definizione di prodotto tensoriale anche ai moduli. Se R è un anello commutativo la costruzione per due R-moduli M, N è praticamente identica a quella per gli spazi vettoriali. Se invece R non è commutativo ma M (risp. N) è un ( S, R )-bimodulo (risp. ( R, S )) allora si può aggiustare la costruzione ed il prodotto tensoriale risulta essere un S-modulo destro (risp. sinistro). In generale quando R non è commutativo ed M, N sono due R-moduli possiamo pretendere solamente la struttura di gruppo abeliano su M ⊗_R N.

Anche se R è commutativo può succedere che ci siano dei collassamenti nel prodotto tensoriale fra moduli. Prendiamo ad esempio Z / ( m ) e Z / ( n ) come Z-moduli con m, n coprimi. Visto che possiamo scrivere l'unità come combinazione lineare di n ed m

1 = λ m + μ n

abbiamo il solito trucchetto

x ⊗ y = ( λ m + μ n ) x ⊗ y = λ ( m x ) ⊗ y + μ x ⊗ ( n y ) = 0

e siccome Z / ( m ) ⊗ Z / ( n ) è generato dagli elementi x ⊗ y concludiamo che Z / ( m ) ⊗ Z / ( n ) = 0

[modifica] Linguaggi di programmazione vettoriali

I linguaggi di programmazione possono avere questa applicazione predefinita. Ad esempio, in APL il prodotto tensore è espresso come "o.x":

A o.x B oppure A o.x B o.x C.

In J il prodotto tensore è la forma diadica "*/"; per esempio

a */ b oppure a */ b */ c.

Si noti che il trattamento con J permette la rappresentazione di alcuni campi tensoriali (così a e b possono essere funzioni invece che costanti -- il risultato è allora una funzione derivata, e se a e b sono differenziabili allora anche a*/b è differenziabile).

Comunque questo tipo di notazione non è universalmente presente nei linguaggi per la manipolazione di vettori. Alcuni linguaggi richiedono l'esplicito trattamento degli indici (per esempio, Matlab) e possono supportare o meno funzioni di ordine più elevato come lo jacobiano (per esempio, Fortran/APL).

[modifica] Bibliografia

(EN) C. T. J. Dodson, Tim Poston (1991): Tensor Geometry. The Geometric Viewpoint and its Use, 2nd ed., Springer, ISBN 3-540-52018-X

In relazione alla geometria differenziale:

(EN) John Lee. Introduction to Smooth Manifolds. , Springer, 2002. - Copre tutti i risultati fondamentali in modo dettagliato. L'autore si impegna molto per dare anche una visione intuitiva e motivata dell'argomento.
(EN) James Munkres. Analysis on Manifolds. , Westview Press, 1990. - Semplice da seguire, scritto molto bene (quasi come Topology, dello stesso autore). Tratta solo varietà in ambiente reale. Gli unici prerequisiti sono algebra lineare di base e calcolo in più variabili (non è essenziale ma aiuta).
(EN) Richard Bishop; Samuel Goldberg. Tensor Analysis on Manifolds. , Dover, 1980. - Tratta più cose rispetto al Lee (varietà riemanniane e applicazioni fisiche), è scorrevole e chiaro, ma decisamente più sintetico e con meno esrcizi.

Per un punto di vista algebrico:

(EN) Serge Lang. Algebra. , Springer, 2005. - Una classica introduzione all'algebra a livello di laurea specialistica. Si parla di prodotto tensoriale tra spazi vettoriali da una prospettiva algebrica (universale), prerequisito fondamentale per trattare argomenti come l'algebra commutativa e la geometria algebrica.
(EN) Paul Moritz Cohn. Basic Algebra. , Springer, 2003.
(EN) Saunders Mac Lane; Garrett Birkhoff. Algebra. , AMS Chelsea, 1999. - Altro classico, scritto da due matematici che hanno dato contributi importanti in geometria.