Spazio Lp

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Nota disambigua - Se stai cercando lo spazio delle successioni a p-esima potenza assolutamente convergenti, vedi Spazio l².

In matematica, e più precisamente in analisi funzionale, uno spazio L^p è uno spazio vettoriale, i cui elementi sono particolari classi di funzioni misurabili.

Gli spazi L^p sono spazi di Banach, dipendenti da un parametro p, che è un reale p maggiore o uguale a 1, oppure infinito. Lo spazio L² è anche uno spazio di Hilbert.

[modifica] Definizione

[modifica] Caso finito

Sia e A un aperto dello spazio euclideo (si può considerare più in generale anche uno spazio di misura). Consideriamo l'insieme V delle funzioni misurabili f definite su A e a valori reali (o complessi) e tali che la quantità

sia un numero finito (queste funzioni si dicono a potenza p-esima sommabile o p-sommabili). La disuguaglianza di Minkowsky

assicura che l'insieme V è un sottospazio dello spazio vettoriale formato da tutte le funzioni definite su A a valori reali. La quantità appena definita non è una norma, bensì solo una seminorma, a causa della presenza di funzioni non nulle con norma nulla (cioè le funzioni nulle quasi ovunque).

Per eliminare queste funzioni, si identificano due funzioni f e g quando la loro differenza f − g ha norma nulla. L'insieme quoziente rispetto a questa relazione d'equivalenza è ancora uno spazio vettoriale, su cui la seminorma risulta essere una vera norma, che viene detta norma p. Questo spazio normato è lo spazio L^p(A). Poiché la norma risulta essere completa, questo è uno spazio di Banach.

[modifica] Caso infinito

La norma

detta norma uniforme, definisce come sopra uno spazio di Banach, denotato , lo spazio delle funzioni limitate quasi ovunque. Se A è compatto, questo insieme contiene come sottospazio proprio lo spazio delle funzioni continue.

La motivazione del pedice ∞ è che si dimostra che la norma uniforme è uguale al limite della norma p di f al tendere di p ad infinito.

[modifica] Estensioni

Gli spazi L^p possono essere definiti prendendo come insieme di valori il campo dei numeri complessi. In questo caso si indica generalmente con

[modifica] Proprietà

[modifica] Caso p = 2

Nello spazio L² delle funzioni a quadrato sommabili, la norma è indotta dal prodotto scalare

(il complesso coniugato di f(x) è utile solo nel caso in cui le funzioni sono a valori complessi), e quindi uno spazio L²(A) è uno spazio di Hilbert.

Il caso p = 2 è veramente speciale: in uno spazio L^p con p diverso da 2 la norma non è mai indotta da un prodotto scalare.

[modifica] Disuguaglianza di Hölder

Se p, q sono reali e positivi tali che e se , allora e vale:

[modifica] Dualità

Se p è un valore finito e diverso da 1, lo spazio duale continuo di L^p, definito come lo spazio di tutti i funzionali lineari continui, è isomorfo in modo naturale a L^q, dove q è tale che

L'isomorfismo associa a il funzionale G dato da

(il complesso coniugato è utile solo nel caso complesso).

Poiché la relazione 1/p + 1/q = 1 è simmetrica, L^p è uno spazio riflessivo, cioè il duale continuo del duale continuo di L^p (detto spazio biduale continuo) è naturalmente isomorfo a L^p.

Per p = 1, il duale di L¹ è isomorfo a , ma non è valido il viceversa: il duale di è uno spazio vettoriale "più grande" di L¹ e per questo motivo L¹ non è riflessivo.

[modifica] Separabilità

Ogni spazio L^p con p < ∞ costruito da un aperto dello spazio euclideo è separabile e un suo sottoinsieme denso è costituito dallo spazio generato dalle funzioni semplici su un compatto a coefficienti razionali.

Lo spazio non è invece separabile in nessun caso se la cardinalità di A è infinita.

[modifica] Relazioni di inclusione tra spazi L^p

Si può vedere che se la misura dell'insieme A è finita, al crescere di p lo spazio L^p "decresce". Per esempio, la funzione

è in L¹(0,2), ma non in L²(0,2), poiché il suo quadrato è , che non è sommabile in un intorno dello 0. Si dimostra che in questo caso vale appunto che L^q è un sottospazio di L^p per ogni p < q e che la norma di una funzione varia di una quantità dipendente dalla misura dell'insieme.

Questo fatto ci permette di stimare a prima vista se una funzione razionale fratta appartiene o meno ad esempio a L²: questo è vero, in particolare, se la differenza di grado tra numeratore e denominatore è strettamente maggiore di uno.

[modifica] Condizioni di compattezza negli spazi L^p

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[modifica] Voci correlate

• Spazio l²
• Spazio di Banach
• Spazio di Hilbert
• Convoluzione
• Trasformata di Fourier

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