Spazio l2

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Nota disambigua - Se stai cercando lo spazio delle funzioni a p-esima potenza sommabile, vedi Spazio L^p.

In matematica, lo spazio l² o (spazio $\ell^2$ ) è lo spazio infinito-dimensionale delle successioni di numeri reali (o complessi) a quadrato sommabili:

$\ell^2(\mathbb{R})=\left\{\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}, x_i\in\mathbb{R}\ \Bigg|\ \sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^2 < \infty\right\}$

Lo spazio $\ell^2$ è uno spazio vettoriale. Inoltre è uno spazio metrico se definiamo la distanza come:

$d(\vec x , \vec y ) = \left( \sum_{k=1}^{\infty} | x_k - y_k |^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$

La dimostrazione è fatta utilizzando la disuguaglianza di Minkowski e la disuguaglianza di Hölder. Inoltre è uno spazio che ammette sottoinsiemi numerabili densi e ciò ci dice che è anche separabile.

Indice

1 Completezza e base
2 Norma
3 Prodotto scalare
4 Spazi l^p generici
- 4.1 Inclusione tra spazi l^p
5 Relazione con gli spazi L^p
6 Voci correlate

[modifica] Completezza e base

Lo spazio $\ell^2$ è uno spazio metrico completo, cioè ogni successione di Cauchy è convergente.

Dimostrazione

Partiamo con il caso $k = 1$ . Dal criterio di convergenza di Cauchy sappiamo che una successione di numeri reali ha limite finito se e solo se è di Cauchy, pertanto una successione di Cauchy in $\ell^2$ è convergente se e solo se $\forall \epsilon >0$ esiste un indice $N (ε) > 0$ tale che:

| x n - x m | 2 < ε 2

per ogni $n, m > N (ε)$ ; ciò significa che la successione $x^{m} \to x$ per $m \to \infty$ .

Ora estendiamo in risultato per un $k$ generico. E' evidente che il precedente risultato vale anche per una successione finita:

$\sum_{k=1}^{M} | x_{k}^{n} - x_{k}|^{2} < \epsilon^{2}$

quindi, passando al limite per $M \to \infty$ , vale anche

$\sum_{k=1}^{\infty} | x_{k}^{n} - x_{k} |^{2} < \epsilon^{2}$

cioè $\lim_{n \to \infty} d( \vec x^{n} , \vec x ) = 0$ , dunque $\vec x^{n} \to \vec x$ .

Corollario

Il precedente risultato implica inoltre che lo spazio $\ell^2$ è dotato di base $\{ \vec e^{k}\}$ dove $e_{i}^{k} = \delta_{ik}$ e quindi ogni elemento dello spazio si scrive in modo unico come:

$\vec x = \sum_{k=1}^{\infty} x_{k} \vec e^{k}$

converge a $\vec x$ .

[modifica] Norma

Lo spazio $\ell^2$ è uno spazio normato con la norma:

$\| \vec x \| = \left(\sum_{k=1}^{\infty} |x_{k}|^{2}\right)^{1/2}$

Quindi è anche uno spazio di Banach.

[modifica] Prodotto scalare

Lo spazio $\ell^2$ è dotato del prodotto scalare, quindi è uno spazio euclideo:

$\langle \{x_n\}|\{y_n\} \rangle = \sum_{k=1}^{\infty} x_{k} y_k$

Lo stesso vale per l'analogo complesso cioè il prodotto hermitiano:

$\langle \{x_n\}|\{y_n\} \rangle=\sum_{k=1}^{\infty} \bar x_{k} y_k$ .

Questo rende lo spazio $\ell^2$ uno spazio di Hilbert.

Sorge ora il problema di trovare la combinazione lineare di vettori di base che meglio approssima un elemento di $\ell^2$ . In pratica vogliamo trovare la combinazione lineare dei vettori di base che renda minima la distanza:

$d(\vec x , \vec x_{n} ) = \| \vec x - \sum_{i=1}^{n} a_{i} \vec e^i \|$ .

Utilizzando la proprietà della norma:

$d(\vec x , \vec x_{n} )^2 = \langle \vec x - \sum_{i=1}^{n} a_i \vec e^{i} \mid \vec x - \sum_{j=1}^{n} a_{j} \vec e^j \rangle = \| \vec x \|^{2} - 2 \cdot \sum_{i=1}^{n} \Re \bar a_{i} \langle \vec e^{i} \mid \vec x \rangle + \sum_{i=1}^{n} |a_{i}|^{2}$ .

Si vede subito che la minima distanza si ottiene per:

$a_{i} = \langle \vec e^{i} \mid \vec x \rangle$

Questi coefficienti sono chiamati coefficienti di Fourier

La disuguaglianza ottenuta dalla $d(\vec x , \vec x_{n} )^2 = \| \vec x \|^{2} - \sum_{i=1}^{\infty} |a_{i}|^{2} \ge 0$ è chiamata disuguaglianza di Bessel:

$\| \vec x \|^{2} \ge \sum_{i=1}^{\infty} |a_{i}|^{2}$

Se per ogni elemento di $\ell^2$ vale l'uguaglianza detta uguaglianza di Parseval:

$\| \vec x \|^{2} = \sum_{i=1}^{\infty} |a_{i}|^{2}$

allora la base ${e i}$ è completa.

[modifica] Spazi l^p generici

Si può definire lo spazio l^p (o $\ell^p$ ), 1 ≤ p < ∞, come lo spazio infinito-dimensionale delle successioni reali (o complesse) a p-esima potenza sommabili, cioè

$\ell ^p(\mathbb{R})=\left\{\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}, x_i\in\mathbb{R}\ \Bigg|\ \sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^p < \infty\right\}$ .

Lo spazio $\ell^p$ è uno spazio di Banach per ogni $p$ , con norma $\| \vec x \| = \left(\sum_{k=1}^{\infty} |x_{k}|^{p}\right)^{1/p}$ .

Se p ≠ 2, però, tale spazio non è uno spazio di Hilbert, cioè non esiste prodotto scalare che induca tale norma.

Per p = ∞ si definisce

$\|x\|_\infty=\sup(|x_1|, |x_2|, \dots, |x_n|,|x_{n+1}|, \dots)$

e il corrispondente spazio l^∞ delle successioni limitate. Risulta essere $\|x\|_\infty=\lim_{p\to\infty}\|x\|_p$ .

Si può dunque parlare di spazi $\ell^p$ per 1 ≤ p ≤ ∞.

[modifica] Inclusione tra spazi $l p$

Si può vedere che se la misura dell'insieme A è finita, al crescere di p cresce anche lo spazio $\ell ^p$ . Per esempio, la successione

$\ \left(1, \frac{1}{2}, \dots, \frac{1}{n}, \frac{1}{n+1},\dots\right)$

non appartiene ad $\ell^1$ , ma appartiene a $\ell^p$ per p>1, poiché la serie

$\ 1^p+\frac{1}{2^p} + \dots + \frac{1}{n^p} + \frac{1}{(n+1)^p}\dots$

diverge per p=1 (è la serie armonica), ma converge per p>1. Ogni spazio $\ell ^p$ è dunque contenuto propriamente in $\ell ^q$ se $p < q$ e si dimostra che la norma di ogni elemento visto in $\ell^q$ è minore o uguale della sua norma in $\ell^p$ .

[modifica] Relazione con gli spazi L^p

Gli spazi $\ell^p$ non sono altro che un caso molto speciale di spazi L^p, dove l'insieme A di definizione delle funzioni non è altro che l'insieme dei numeri naturali e la misura è la misura che conta il numero di elementi di un insieme (assegnando infinito a insiemi infiniti).

Si può definire anche lo spazio a partire da un qualunque insieme numerabile S (dunque per esempio anche gli interi), giungendo a una struttura denotata con $\ell ^p(S)$ . Notare che $\ell ^p(\{1,\dots,n\})$ , o più stringatamente $\ell ^p(n)$ , non è altro che lo spazio euclideo $\R^n$ con la norma p.