Equació de segon grau

De Viquipèdia

Gràfic de la funció polinòmica de segón grau

a x 2 + b x + c

, variant cada coeficient per separat, els coeficients que es mantenen constants valen 1

Una equació de segon grau és una equació polinòmica on el grau més alt dels diversos monomis que la integren és 2. La seva expressió general és:

$ax^2+bx+c=0 \$

on a ≠ 0.

Les equacions de segon grau es resolen mitjançant la fórmula:

$x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ,

que proporciona les dues solucions complexes que té, d'acord amb el teorema fonamental de l'àlgebra.

Per comprovar si aquestes solucions són també reals, es pot fer observant el discriminant de l'equació, que correspon al terme dins l'arrel quadrada: $b 2 - 4 a c$ .

Si:

$b^2-4ac>0 \$ Les dues solucions són reals.

$b^2-4ac=0 \$ L'equació té una sola solució real (doble), que ve donada per $x=\frac{-b}{2a} \$ .

$b^2-4ac<0 \$ No existeixen solucions en els reals.

Taula de continguts

1 Història
2 Obtenció de la fórmula
3 Aplicació a equacions de grau superiors
4 Fórmula alternativa
5 Implementació en aritmètica de coma flotant
6 Fèrmules de Viète
7 Discriminant
8 Generalitzacions
- 8.1 Característica 2
9 Referències
10 Llibre
11 Vegeu també
12 Enllaços externs

[edita] Història

Els matemàtics xinesos 400 aC i babilonis 200 aC feien sevir el mètode de completar el quadrat per resoldre equacions de segon grau amb arrels positives. Però no tenien una fórmula general.

Euclides va obtenir un mètode geomètric més abstracte al voltant del 300 aC.

El 628 Brahmagupta va donar la primera forma explícita (tot i que encara no del tot general ni algebraica) per a solucionar l’equació de segon grau.

El manuscrit Bakhshali datat al segle VII conté una fórmula algebraica per a solucionar equacions de segon grau.

El matemàtic persa del segle IX Mohammad bin Musa Al-kwarismi va desenvolupar un conjunt de fórmules que funcionaven per a solucions positives.

El matemàtic català Savasorda (1070, Barcelona- 1136, Provença) Va ser el primer en donar la fórmula que soluciona completament l’equació de segon grau. Des de Catalunya es va difondre a la resta d’Europa gràcies a la traducció al llatí del seu llibre Liber embadorum feta per Plató de Tivoli.

El matemàtic indi Bhāskara II va donar la fórmula general amb dues arrels.

[edita] Obtenció de la fórmula

En els llibres de text actuals es dóna la fórmula per coneguda i es presenta una demostració elegant que permet verificar que la fórmula, efectivament, dóna els resultats de l’equació.

Un altre forma més pedagògica és seguir el un camí equivalent al que es va seguir en la història a base de combinar la solució geomètrica de completar el quadrat amb la notació algebraica.

També es pot arribar a la fórmula que resol l’equació fent un canvi de variable per tal d’eliminar el terme en x i poder-la resoldre directament extraient l'arrel quadrada del terme independent.

[edita] Demostració

Per a aïllar la x d'una equació de segon grau del tipus

$ax^2 + bx + c = 0 \$

Es passa la c al segon terme de l'equació:

$ax^2 + bx = -c \$

Es multipliquen tots dos termes per $4 a$ :

$4a^2x^2 + 4abx= - 4ac \$

S'afegeix $b 2$ a tots dos termes:

$4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac \$

El terme de l'esquerra és un binomi de Newton desenvolupat:

$(2ax + b)^2 = b^2 - 4ac \$

Es treu l'arrel quadrada de tots dos termes:

$\sqrt{(2ax + b)^2} = \sqrt{b^2 - 4ac}$

I per tant:

$2ax + b = \pm \sqrt{b^2 - 4ac} \$

S'aïlla el terme que conté la x:

$2ax = -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} \$

I finalment s'aïlla la x:

$x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

[edita] Obtenció aplicant l'àlgebra al mètode geomètric

En primer lloc es prepara l’equació per facilitar la manipulació geomètrica:

$\begin{align} & ax^{2}+bx+c=0 \\ & x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a} \\ \end{align}$

A partir d’aquí es representen gràficament els termes i es manipulen per tal d’obtenir un quadrat a l’esquerra:

Ara, ja es podrà calcular l’arrel quadrada dels termes de l’esquerra (perquè formen un quadrat) i es continua algebraicament fins a trobar la fórmula que dóna les dues solucions generals.

$\begin{align} & \left( x+\frac{b}{2a} \right)^{2}=\left( \frac{b}{2a} \right)^{2}-\frac{c}{a} \\ & \left( x+\frac{b}{2a} \right)^{2}=\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a} \\ & \left( x+\frac{b}{2a} \right)^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}} \\ & \sqrt{\left( x+\frac{b}{2a} \right)^{2}}=\pm \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}} \\ & x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ & x=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ & x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ \end{align}$

[edita] Obtenció per canvi de variable

Un altre mètode, que es pot emprar en equacions polinòmiques de qualsevol grau, per tal de transformar-les en una altra equació però amb el segon terme igual a zero, és fer una canvi de variables adequat. En el cas de l’equació de segon grau si el segon terme és igual a zero la solució és immediata i llavors només cal desfer el canvi de variable. Es planteja un canvi de variable del tipus:

$\begin{align} & x=\left( y+p \right) \\ & x^{2}=\left( y+p \right)^{2}=y^{2}+2py+p^{2} \\ \end{align}$

Substituint, l’equació original queda:

$\begin{align} & ax^{2}+bx+c=a\left( y^{2}+2py+p^{2} \right)+b\left( y+p \right)+c \\ & ax^{2}+bx+c=ay^{2}+\left( 2ap+b \right)y+\left( ap^{2}+bp+c \right) \\ \end{align}$

Perquè el segon terme s’anul•li cal triar $p$ de forma que:

$2ap+b=0\Rightarrow p=\frac{-b}{2a}$

Substituint, i resolent l’equació transformada surt:

$\begin{align} & ay^{2}+\left( ap^{2}+bp+c \right)=0 \\ & ay^{2}+\left( a\left( \frac{-b}{2a} \right)^{2}+b\frac{-b}{2a}+c \right)=0 \\ & ay^{2}+\left( \frac{b^{2}}{4a}-\frac{b^{2}}{2a}+c \right)=0 \\ & ay^{2}+\left( -\frac{b^{2}}{4a}+c \right)=0 \\ & ay^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a} \\ & y^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}} \\ & y=\pm \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}} \\ & y=\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ \end{align}$

I desfent el canvi de variable:

$\begin{align} & x=y+p=\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}+\frac{-b}{2a} \\ & x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ \end{align}$

[edita] Aplicació a equacions de grau superiors

Certes equacions de grau superior es poden transformar en equacions de segon grau i resoldre-les d’aquesta manera. Les equacions de la forma $a x 4 + b x 2 + c = 0$ , anomenades equacions biquadrades, es resolen amb el canvi de variable $t = x 2$ . Però hi ha altres casos en què es poden aplicar tècniques semblants, per exemple l’equació de 6è grau en x:

$x^6 - 4x^3 + 8 = 0\,$

Es pot reescriure com:

$(x^3)^2 - 4(x^3) + 8 = 0\,,$

O, de forma equivalent, com una equació de segon grau d’una nova variable u:

$u^2 - 4u + 8 = 0,\,$

$u = x^3.\,$

Resolent l’equació de segon grau en u resulten les dues solucions:

$u = 2 \pm 2i.$

Així

$x^3 = 2 \pm 2i\,.$

Tot seguit cal trobar les tres arrels cúbiques de 2 + 2i – les altres tres solucions de x seran les seves conjugades – reescrivint el cantó dret a base de fer servir la fórmula d’Euler:

$x^3 = 2^{\tfrac{3}{2}}e^{\tfrac{1}{4}\pi i} = 2^{\tfrac{3}{2}}e^{\tfrac{8k+1}{4}\pi i}\,$

(donat que e^2kπi = 1), dóna les tres solucions:

$x = 2^{\tfrac{1}{2}}e^{\tfrac{8k+1}{12}\pi i}\,,~k = 0, 1, 2\,.$

Fent servir les fórmules d’Euler un altre cop, conjuntament amb les identitats trigonomètriques -con ara cos(π/12) = ${\left( \sqrt{2}+\sqrt{6} \right)}/{4}\;$ -, i sumant els complexos conjugats, s'obté la col•lecció completa de solucions:

$x_{1,2} = -1 \pm i,\,$

$x_{3,4} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \pm \frac{1 - \sqrt{3}}{2}i\,$

$x_{5,6} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \pm \frac{1 + \sqrt{3}}{2}i.\,$

[edita] Fórmula alternativa

En algunes situacions es preferible expressar les arrels en una forma alternativa.

$x =\frac{2c}{-b \mp \sqrt {b^2-4ac\ }} .$

Aquesta alternativa requereix que c sigui diferent de zero; si c és zero, la fórmula dona, correctament, zero com una de les arrels, però falla en donar cap segona arrel diferent de zero. En compte d’això, una de les dues eleccions de ∓ produeix un error de divisió per zero, que és indefinit.

Si c és diferent de zero el resultat és el mateix que amb l’expressió habitual:

$\begin{align} \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} &{}= \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} \cdot \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac\ }}{-b - \sqrt {b^2-4ac\ }} \\ &{}= \frac{4ac}{2a \left ( -b - \sqrt {b^2-4ac} \right ) } \\ &{}=\frac{2c}{-b - \sqrt {b^2-4ac\ }}. \end{align}$

Aquesta forma alternativa pot reduir la pèrdua de precisió en el càlcul numèric de les arrels, cosa que pot ser un problema si una de les arrels és molt més petita que l’altra en magnitud absoluta. El problema de la possibilitat de que c sigui zero es pot evitar fent servir un enfocament mixt:

$x_1 = \frac{-b - \sgn b \,\sqrt {b^2-4ac}}{2a},$

$x_2 = \frac{c}{ax_1}.$

Aquí sgn indica la funció signe.

[edita] Implementació en aritmètica de coma flotant

Un algorisme amb una implementació curosa de la solució de l’equació de segon grau, si fa servir aritmètica de coma flotant, per produir un resultat robust, difereix una mica de les dues fórmules. Suposant que el discriminant, b²−4ac, sigui positiu i b diferent de zero, el codi serà quelcom com el que segueix.

$t := -\tfrac12 \big( b + \sgn(b) \sqrt{b^2-4ac} \big) \,\!$

$r_{1} := t/a \,\!$

$r_{2} := c/t \,\!$

Aquí sgn(b) és la funció signe, on sgn(b) és 1 si b és positiu i −1 si b és negatiu; el seu ús assegura que les quantitat que se sumen són del mateix signe, evitant la cancel•lació catastròfica (pèrdua de digits significatius en restar dues magnituds molt semblants). El càlcul de r₂ fa servir el fet de que el producte de les arrels és c/a.

[edita] Fèrmules de Viète

Les fórmules de Viète donen una relació senzilla entre les arrels d’un polinomi i els seus coeficients. En el cas del polinomi de segon grau, adopten la següent forma:

$x_+ + x_- = -\frac{b}{a}$

$x_+ \cdot x_- = \frac{c}{a}.$

La primera fórmula dóna una expressió interessant quan es vol dibuixar la gràfica d’una funció polinòmica de segon grau. Com que la gràfica és simètrica respecte d’una línia vertical que passa pel vèrtex, quan hi ha dies arrels reals, la coordenada x del vèrtex es troba al punt mig entre les dues arrels. Per tant la coordenada x del vèrtex ve donada per l’expressió:

$x_V = \frac {x_+ + x_-} {2} = -\frac{b}{2a}.$

La coordenada y del vèrtex es pot trobar, un cop se sap la coordenada x, a base de substituir en la funció, això dona

$y_V = - \frac{b^2}{4a} + c = - \frac{ b^2 - 4ac} {4a}.$

[edita] Discriminant

Exemple de diferents signes del discriminant
■ <0: x²+¹⁄₂
■ =0: −⁴⁄₃x²+⁴⁄₃x−¹⁄₃
■ >0: ³⁄₂x²+¹⁄₂x−⁴⁄₃

En la fórmula de la solució general de l’equació de segon grau, de l’expressió de dins del signe arrel quadrada:

$\Delta = b^2 - 4ac , \,\!$

Se’n diu el discriminant de l’equació de segon grau.

Una equació de segon grau amb coeficients reals pot tenir, o bé una o dues arrels reals, o bé dues arrels complexes diferents (conjugades). En aquest cas el discriminant determina el nombre i la classe de les arrels. Hi ha tres cassos:

Si el discriminant és positiu, hi ha dues arrels reals diferents. Pel cas d’equacions de segon grau amb coeficients enters, si el discriminant és un quadrat perfecte, llavors les arrels són nombres racionals—en els altres cassos poden ser irracionals quadràtics.
Si el discriminant és zero, hi ha exactament una arrel i és un nombre real. De vegades se’n diu arrel doble, el seu valor és:

$x = -\frac{b}{2a} . \,\!$
Si el discriminant és negatiu, no hi ha arrels reals. En canvi hi ha dues arrels complexes (no reals) que són conjugades entre si:

$\begin{align} x &= \frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} , \\ x &= \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} , \\ i^2 &= -1. \end{align}$

Per tant, les arrels són diferents si i només si el discriminant és diferent de zero, i les arrels són diferents si i nomes si el discriminant és no negatiu.

[edita] Generalitzacions

La fórmula i la seva demostració continuen sent correctes si els coeficients a, b i c són nombres complexos, o de forma més general, nombres de qualsevol cos (matemàtiques) de característica diferent de 2. (si un cos té característica 2, ´’element 2a és un zero i és impossible dividir entre ell.)

El simbol

$\pm \sqrt {b^2-4ac}$

De la fórmula, s’ha d’entendre com qualsevol dels dos elements, el quadrat dels quals és

$b^2-4ac,\,$

Si tals elements existeixen. En alguns cossos, alguns elements no tenen arrels quadrades i d’altres en tenen dues; només el zero té exactament una arrel quadrada, excepte en cossos de característica 2. Fixeu-vos que fins i tot si un cos no té arrel quadrada per algun nombre, sempre hi ha una extensió del cos que sí que en té, per tant la fórmula de l’equació de segon grau sempre té sentit com una fórmula en aquest cos estes.

[edita] Característica 2

En un cos de característica 2, la fórmula de l’equació de segon grau, que descansa en el fet que 2 sigui diferent de zero, no es manté. Considereu el polinomi mònic de segon grau

$\displaystyle x^{2} + bx + c$

Sobre un cos de característica 2. Si b = 0, llavors la solució es redueix a extreure una arrel quadrada, per tant la solució es

$\displaystyle x = \sqrt{c}$

I fixeu-vos que només hi ha una arrel quadrada dons

$\displaystyle -\sqrt{c} = -\sqrt{c} + 2\sqrt{c} = \sqrt{c}.$

En resum,

$\displaystyle x^{2} + c = (x + \sqrt{c})^{2}.$

Vegeu residu quadràtic per a més informació sobre extraure arrels quadrades en cossos finits.

En el cas de que b ≠ 0, hi ha dues arrels diferents, però si el polinomi és irreductible, no es poden expressar en termes d’arrels quadrades de nombres en el cos de coeficients. En comptes d’això, es defineix la 2-arrel R(c) de c com una arrel del polinomi x² + x + c, un element del cos de descomposició d’aquest polinomi. Es verifica que R(c) + 1 també és una arrel. En termes de l'operació 2-arrel, les dues arrels de l’equació de segon grau (no mònica) ax² + bx + c són

$\frac{b}{a}R\left(\frac{ac}{b^2}\right)$

$\frac{b}{a}\left(R\left(\frac{ac}{b^2}\right)+1\right).$

Per exemple, sia a un generador multiplicatiu del grup d’unitats de F₄, el cos de Galois d’ordre quatre (així a i a + 1 són arrels de x² + x + 1 sobrer F₄). Perquè (a + 1)² = a, a + 1 és la única solució de l’equació de segon grau x² + a = 0. Per altra banda, el polinomi x + ax + 1 és irreductible sobre F₄, pero parteix sobre F₁₆, on té les dues arrels ab i ab + a, on b és una arrel de x² + x + a en F₁₆.

Aquest és un cas especial de la teoria de Artin-Schreier.

[edita] Referències

Stillwell, John. 2004. Mathematics and its History. Berlin and New York: Springer-Verlag. 542 pages. p. 86

The History Behind The Quadratic Formula: http://www.bbc.co.uk/dna/h2g2/A2982567

[edita] Llibre

Vedic Mathematics: Sixteen Simple Mathematical Formulae from the Vedas, by Swami Sankaracarya (1884-1960), Motilal Banarsidass Indological Publishers and Booksellers, Varnasi, India, 1965; reprinted in Delhi, India, 1975, 1978. 367 pages.

[edita] Vegeu també

Equació de primer grau
Equació de tercer grau
Equació de quart grau
Equació de cinquè grau
Teorema fonamental de l’àlgebra
Paràbola
Funció polinòmica
Resolució d’equacions de segon grau amb fraccions contínues
Punts periòdics d’aplicacions quadràtiques complexes
Mètode de Chakravala

[edita] Enllaços externs

Quadratic equations. http://mathworld.wolfram.com/QuadraticEquation.html
Quadratic equation solver, plus solvers for cubic and quartic equations
101 uses of a quadratic equation part I Part II
Quadratic graphical explorer Interactive applet. Sliders for a,b,c show effects on a graph.
Trigonometric solutions: You Could Learn a Lot from a Quadratic

Categoria: Equacions