Caracter??stica

De Viquip??dia

En matem??tiques, la caracter??stica d'un anell R, generalment denotada char(R), es defineix com el nombre m??s petit tal que hom ha de sumar l'element neutre de la multiplicaci?? (1) amb ell mateix per tal d'aconseguir l'element neutre de la suma (0); es diu que un anell t?? caracter??stica zero si aquesta suma mai assoleix aquest element neutre 0. Dit d'una altra manera, char(R) ??s el nombre positiu n m??s petit tal que

en cas que aquest nombre existeixi, i 0 altrament. La caracter??stica tamb?? es pot prendre com l'exponent del grup additiu de l'anell, ??s a dir, el nombre positiu n m??s petit tal que

per a cada element a de l'anell (un altre cop, si n existeix, altrament la caracter??stica ??s 0). Alguns autors no inclouen l'element neutre de la suma com a condici?? per definir un anell (vegeu pseudoanell), i per tant aquesta definici?? ??s la que s'ajusta en aquest cas. En el cas d'exist??ncia d'aquest element neutre, ??s evident que les dues definicions s??n equivalents gr??cies a la propietat distributiva dels anells.

Altres definicions equivalents inclouen prendre com a caracter??stica el nombre natural n tal que n??? ??s el nucli d'un homomorfisme d'anells de Z a R, o tal que R cont?? un subanell isomorf a l'anell ???/n???, el qual seria la imatge d'aquest homomorfisme. Les condicions necess??ries per un homomorfisme d'anells s??n tals que nom??s pot haver un sol homomorfisme de l'anell dels nombres enters; en el llenguatge de teoria de categories, ??? ??s un objecte inicial de la categoria d'anells. Un altre cop, aix?? segueix la convenci?? que un anell t?? element neutre de la multiplicaci?? (que roman invariant en tot homomorfisme d'anells).