Teorema fonamental de l'àlgebra
De Viquipèdia
El teorema fonamental de l'àlgebra afirma que
| tot polinomi de coeficients complexos i de grau n (n ≥ 1) té exactament n arrels. |
És a dir, que per a tot polinomi del tipus:
existeixen n nombres z1, ..., zn (no necessàriament tots diferents) tals que p(z1) = 0, p(z2) = 0, ..., p(zn) = 0 i, per tant,
Aquest resultat és fonamental perquè demostra que el cos dels nombres complexos és un cos algebraicament tancat, a diferència del cos dels nombres reals. Una conseqüència directa és el fet que el producte de totes les arrels és igual a (−1)na0 i que la suma de totes les arrels és igual a −an−1.
[edita] Demostració
La demostració es basa en fer que la variable z escombri el conjunt dels nombres complexos i veure que necessàriament ha de passar pel valor zero. L’escombratge es fa considerant la representació vectorial dels nombres complexos.
Inicialment es pren un nombre amb mòdul zero i es va fent créixer el mòdul, per a cada valor del mòdul es fa que l'angle recorri els valors des de zero fins a 2π. Quan el mòdul de z és zero el resultat de la funció polinòmica és a0. Quan el mòdul és molt petit els monomis d’ordre més gran que a1z es poden negligir en comparació amb a1z i la funció polinòmica al variar l'angle de z entre zero i 2π dóna una volta entorn al punt a0. Si a0 és diferent de zero el punt (0,0i) queda fora del cercle. (Si a0 és zero el polinomi admet una arrel trivial x = 0). Quan el mòdul és molt gran els monomis diferents de zn es poden negligir respecte d’aquest, per tant al variar l'angle entre 0 i 2π radiants la funció polinòmica descriu pràcticament un cercle n cops entorn al punt (0,0i).
Per tant al escombrar d’aquesta forma el conjunt dels nombres complexos, la funció polinòmica passa de forma contínua de descriure un cercle on el punt (0,0i) en queda fora a descriure’n un on el punt (0,0i) en queda dins, per tant en algun punt ha de tocar (0,0i). Aquest punt (diguem-ne z0) és per tant una arrel del polinomi. Dividint el polinomi per (z − z0) s’obté un altre polinomi de grau n - 1 i el residu és zero. Repetint el procés n - 1 cops més es poden trobar les altres n - 1 arrels.
Per tant, tot polinomi de grau n amb coeficients en el cos dels nombres complexos té n arrels.
