Fórmules de Viète
De Viquipèdia
En matemàtiques, més específicament en àlgebra, les fórmules de Viète, anomenades així en honor de François Viète, són formules que relacionen les arrels d’un polinomi amb els seus coeficients.
Taula de continguts |
[edita] Les fórmules
Si
És un polinomi de grau amb coeficients complexos (per tant, els nombres
són complexos amb
), pel teorema fonamental de l’àlgebra P(X) té n (no necessàriament diferents) arrels complexes
Les fórmules de Viète estableixen que
EN altres paraules, la suma de tots els possibles productes de k arrels de P(X) (amb els index en cada producte en ordre creixent de forma que no hi hagi repeticions) és igual a ( − 1)kan − k / an,
Per a cada
Les fórmules de Viète també es compleixen de forma més general per a polinomis amb coeficients en qualsevol anell commutatiu, en la mesura en que aquest polinomi de grau n tingui n arrels en aquest anell.
[edita] Exemple
Per al polinomi de segon grau P(X) = aX2 + bX + c, les fórmules de Viète estableixen que les solucions x1 i x2 de l’equació P(X) = 0 satisfan
La primera d’aquestes equacions es pot er servir per a trobar el mínim (o el màxim) de P. Vegeu Equació de segon grau.
[edita] Demostració
Les fórmules de Viète es poden demostrar escrivint la igualtat
(que és certa donat que són totes les arrels d’aquest polinomi), multiplicant els factors del cantó dret, i identificant els coeficients de cada potència de X.
[edita] Vegeu també
- Identitats de Newton
- Polinomi simètric elemental
- Polinomi simètric
- Propietats de les arrels dels polinomis
[edita] Referències
- Vinberg, E. B. (2003). A course in algebra, American Mathematical Society, Providence, R.I. ISBN 0821834134.
- Djukić, Dušan, et al. (2006). The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959-2004, Springer, New York, NY. ISBN 0387242996.