Poly??dre

Certains Polyhedra Dod??ca??dre ( poly??dre r??gulier ) Petit dod??ca??dre ??toil?? ( ??toile r??guli??re) Icosidod??ca??dre ( Uniforme) Grand cubicubocta??dre ( Uniforme ??toiles) Rhombique triaconta??dre ( Double uniforme) Coupole pentagonale allong??e ( Convex r??guli??re face) Prisme octogonal ( Prisme uniforme) Antiprisme carr?? ( Antiprisme uniforme)

Un poly??dre (poly??dres ou poly??dres pluriel) est souvent d??fini comme un g??om??trique objet ?? faces planes et des bords droits (le mot vient du poly??dre grec classique πολυεδρον, de poly, tige de πολυς, "beaucoup," + -edron, sous forme de εδρον, ??base??, ??si??ge?? ou ??face??).

Cette d??finition d'un poly??dre est pas tr??s pr??cise, et un math??maticien moderne est tout ?? fait insatisfaisante. Gr??nbaum (1994, p.43) a observ?? que:

Le Original Sin dans la th??orie des poly??dres remonte ?? Euclid , et par Kepler , Poinsot, Cauchy et bien d'autres ... [dans cette] ?? chaque ??tape ... les ??crivains ne ont pas r??ussi ?? d??finir ce que sont les ??poly??dres '...

Math??maticiens modernes ne ont m??me pas d'accord sur exactement ce qui fait quelque chose d'un poly??dre.

Qu'est-ce qu'un poly??dre?

Nous pouvons dire que au moins un poly??dre est construit ?? partir de diff??rents types d'??l??ment ou d'une entit??, chacune associ??e ?? un nombre diff??rent de dimensions:

• Trois dimensions: Le corps est d??limit?? par des faces, et est habituellement le volume int??rieur.
• Deux dimensions: A le visage est d??limit??e par un circuit de bords, et est habituellement une r??gion (plane) appelle un polygone . Les visages forment ensemble la surface poly??drique.
• Une dimension: Un bord rejoint un sommet ?? l'autre et une face ?? l'autre, et est habituellement un ligne d'une certaine sorte. Les bords forment ensemble le squelette poly??drique.
• 0 dimensions: A sommet (Les sommets pluriel) est un coin Point.
• Dimension -1: La nullit?? est une sorte de non-entit?? tenue par abstraites th??ories.

Plus g??n??ralement, dans les math??matiques et les autres disciplines, "poly??dre" est utilis?? pour d??signer une vari??t?? de constructions connexes, dont certains g??om??trique et d'autres purement alg??brique ou abstraite.

Une caract??ristique d??terminante de presque tous les types de poly??dres est que seulement deux visages rejoignent le long d'une ar??te commune. Cela garantit que la surface poly??drique est continuellement connect?? et ne se arr??te pas brusquement ou scission dans des directions diff??rentes.

Un poly??dre est un exemple trois dimensions de la plus g??n??rale polytope dans un nombre quelconque de dimensions.

Caract??ristiques

Poly??dres Naming

Les poly??dres sont souvent nomm??s selon le nombre de faces. Le syst??me de nommage est ?? nouveau bas?? sur grec classique, par exemple t??tra??dre (4), penta??dre (5), hexa??dre (6), hepta??dre (7), triaconta??dre (30), et ainsi de suite.

Souvent, cela est qualifi?? par une description des types de visages pr??sents, par exemple, le Dod??ca??dre rhombique contre la Dod??ca??dre pentagonal.

Autres noms communs indiquent que certaines op??ration ne est effectu??e sur un poly??dre simple, par exemple le cube tronqu?? ressemble ?? un cube avec ses coins coup??s, et dispose de 14 visages (il est aussi un exemple de tetrakaidecahedron).

Certains poly??dres sp??ciale ont augment?? leurs propres noms au fil des ans, comme Le monstre de Miller ou Poly??dre Szilassi.

Bords

Bords ont deux caract??ristiques importantes (sauf si le poly??dre est complexe ):

• Une ar??te rejoint seulement deux sommets.
• Une ar??te rejoint seulement deux visages.

Ces deux caract??ristiques sont ?? deux les uns aux autres.

Caract??ristique d'Euler

La caract??ristique d'Euler χ concerne le nombre de sommets V, bords E, F et fait face d'un poly??dre:

χ = V - E + F.

Pour un poly??dre simplement connect??, χ = 2. Pour une discussion d??taill??e, voir Preuves et R??futations par Imre Lakatos.

Dualit??

Pour chaque poly??dre il ya un poly??dre dual comportant des faces en place des sommets de l'original et vice versa. Dans la plupart des cas, le double peut ??tre obtenu par le proc??d?? de d??placement alternatif sph??rique.

Figure de sommet

Pour chaque sommet on peut d??finir un Figure de sommet constitu?? des sommets reli?? ?? lui. Le sommet est dite r??guli??re si ce est un polygone r??gulier et sym??trique par rapport ?? l'ensemble du poly??dre.

Poly??dres traditionnelle

Un dod??ca??dre

En g??om??trie , un poly??dre est traditionnellement une forme tridimensionnelle qui est constitu??e d'un nombre fini de polygonal faces qui sont des parties de plans ; les faces se rencontrent en paires le long de bords qui sont en ligne droite segments, et les bords se rencontrent aux points appel?? sommets. Cubes , prismes et pyramides sont des exemples de poly??dres. Le poly??dre entourant un volume d??limit?? dans l'espace tridimensionnel; parfois ce volume int??rieur est consid??r?? comme faisant partie du poly??dre, parfois seulement la surface est pris en consid??ration, et, occasionnellement, que le squelette d'ar??tes.

Un poly??dre est dit ??tre Convexe si sa surface (comprenant ses faces, ar??tes et sommets) ne lui-m??me et le segment de ligne joignant deux points quelconques du poly??dre coupe pas est contenu ?? l'int??rieur et la surface.

Poly??dres sym??triques

Beaucoup de poly??dres les plus ??tudi??s sont tr??s sym??triques .

Bien s??r, il est facile de fausser tels poly??dres de sorte qu'ils ne sont plus sym??triques. Mais o?? un nom poly??drique est donn??e, comme icosidod??ca??dre, la g??om??trie la plus sym??trique est presque toujours implicite, sauf indication contraire.

Certains des noms les plus communs en particulier sont souvent utilis??s avec "r??guli??re" devant ou implicite, car pour chaque Il existe diff??rents types qui ont peu en commun, sauf pour avoir le m??me nombre de visages. Ce sont les t??tra??dre , le cube , l'octa??dre , dod??ca??dre et icosa??dre:

Poly??dres des plus hautes sym??tries ont tous un certain type d'??l??ment - visages, bords et / ou des sommets, dans une seule orbite de sym??trie. Il ya diff??rentes cat??gories de tels poly??dres:

• Isogonal ou Vertex-transitif si tous les sommets sont les m??mes, en ce sens que pour deux sommets il existe un sym??trie du poly??dre cartographie de la premi??re isom??trique sur la seconde.
• Isotoxal ou Edge-transitif si toutes les ar??tes sont les m??mes, en ce sens que pour toutes les deux bords, il existe une sym??trie de la cartographie du premier poly??dre isom??triquement sur la seconde.
• Isoedrique ou Face-transitif si toutes les faces sont identiques, en ce sens que pour toutes les deux faces, il existe une sym??trie de la cartographie du premier poly??dre isom??triquement sur la seconde.
• R??gulier se il est vertex-transitive, bord-transitive et face transitive (ce qui implique que chaque visage est le m??me polygone r??gulier; elle implique aussi que chaque sommet est r??gulier).
• Quasi-r??guli??re si elle est transitive et vertex-bord transitive (et a donc visages r??guliers) mais pas en face-transitive. Une double quasi-r??guli??re est face transitive et le bord transitive (et donc chaque sommet est r??guli??re), mais pas vertex-transitive.
• Semi-r??gulier se il est sommet-transitif mais pas EDGE-transitive, et chaque visage est un polygone r??gulier. (Ce est l'une de plusieurs d??finitions du terme, selon l'auteur. Certaines d??finitions se chevauchent avec la classe quasi-r??guli??re). Une double semi-r??guli??re est face transitive mais pas Vertex transitive, et chaque sommet est r??guli??re.
• Homog??ne si elle est vertex-transitive et chaque visage est un polygone r??gulier, ce est ?? dire qu'il est r??gulier, quasi-r??guli??re ou semi-r??guli??re. Une double uniforme est face transitive et a sommets r??guliers, mais ne est pas n??cessairement sommet-transitif).
• Noble se il est face transitive et vertex-transitif (mais pas n??cessairement bord transitive). Les poly??dres r??guliers sont aussi noble; ils sont la seule poly??dres uniformes noble.

Un poly??dre peut appartenir au m??me groupe de sym??trie globale comme une de sym??trie ??lev??, mais aura plusieurs groupes d'??l??ments (par exemple faces) dans diff??rentes orbites de sym??trie.

Poly??dres uniformes et leurs duals

Poly??dres uniformes sont sommet-transitif et chaque visage est un polygone r??gulier. Ils peuvent ??tre r??guli??re, quasi-r??guli??re ou semi-r??guli??re, et peut ??tre convexe ou ??toil??.

L'uniforme duals sont face transitive et chaque vertex chiffre est un polygone r??gulier.

Face-transitivit?? d'un poly??dre correspond ?? vertex-transitivit?? de la double et inversement, et le bord-transitivit?? d'un poly??dre correspond ?? bord transitivit?? de la double. Dans la plupart des duels de poly??dres uniformes, faces sont des polygones irr??guliers. Le poly??dres r??guliers sont une exception, car ils sont ?? double ?? l'autre.

Chaque poly??dre uniforme part la m??me sym??trie que son double, avec les sym??tries de visages et de sommets tout simplement invers??s. Pour cette raison certaines autorit??s consid??rent les duels aussi uniforme aussi. Mais cette id??e ne est pas largement r??pandue: un poly??dre et ses sym??tries ne sont pas la m??me chose.

Le poly??dres uniformes et leurs duals sont traditionnellement class??s selon leur degr?? de sym??trie, et si elles sont convexe ou non.

Poly??dres Noble

Un noble poly??dre est ?? la fois isoedrique (??gale ?? face) et isogonal (??gale cornes). Outre le poly??dres r??guliers, il ya beaucoup d'autres exemples.

Le double d'un noble poly??dre est aussi noble.

groupes de sym??trie

Le poly??drique groupes de sym??trie sont toutes et des groupes de points comprennent:

• T - chiral sym??trie t??tra??drique; le groupe de rotation pour un habitu?? t??tra??dre ; Afin 12.
• T _d - compl??te sym??trie t??tra??drique; le groupe de sym??trie pour un habitu?? t??tra??dre ; Afin 24.
• T _h - pyritohedral sym??trie; Afin 24. La sym??trie d'un pyritohedron.
• O - chiral sym??trie octa??drique; le groupe de la rotation de cube et octa??dre ; Afin 24.
• O _h - compl??te sym??trie octa??drique; le groupe de sym??trie du cube et l'octa??dre ; Afin 48.
• I - chiral sym??trie icosa??drique; le groupe de rotation de la et l'icosa??dre dod??ca??dre; Afin 60.
• I _h - pleins sym??trie icosa??drique; le groupe de sym??trie de la et l'icosa??dre dod??ca??dre; commander 120.
• C _nv - n -fois sym??trie pyramidale
• D _nh - n -fois sym??trie prismatique
• D _nv - n -fois sym??trie antiprismatique

Ceux avec sym??trie chirale ne ont pas sym??trie de r??flexion et donc avoir deux formes ??nantiomorphes qui sont les reflets de l'autre. Les freinages poly??dres Archim??de ont cette propri??t??.

Autres poly??dres ?? faces r??guli??res

Visages r??guliers ??galit??

Quelques familles de poly??dres, o?? chaque visage est le m??me genre de polygone:

• Delta??dres ont triangles ??quilat??raux pour les visages.

• En ce qui concerne les poly??dres dont les faces sont toutes les cases: si faces coplanaires ne sont pas autoris??s, m??me se ils sont d??connect??s, il ya seulement le cube. Sinon, il est aussi le r??sultat de coller six cubes aux c??t??s de l'un, tous les sept de la m??me taille; il a 30 faces carr??es (en comptant visages d??connect??s dans le m??me plan que s??par??e). Cela peut ??tre prolong??e dans une, deux ou trois directions: nous pouvons consid??rer l'union des arbitrairement de nombreuses copies de ces structures, obtenus par des traductions (exprim??e en tailles de cube) (2,0,0), (0,2,0 ) et / ou (0,0,2), d'o?? chaque paire adjacente ayant une cube commun. Le r??sultat peut ??tre tout ensemble connexe de cubes avec des positions (a, b, c), avec des nombres entiers a, b, c dont au plus un est encore.

• Il ya pas de nom particulier pour les poly??dres dont les faces sont tous des pentagones ou pentagrammes ??quilat??raux. Il ya infiniment beaucoup d'entre eux, mais un seul est convexe: le dod??ca??dre. Le reste sont assembl??s par collage) (combinaisons des poly??dres r??guliers d??crit pr??c??demment: le dod??ca??dre, le petit dod??ca??dre ??toil??, le grand dod??ca??dre ??toil?? et le grand icosa??dre.

Il ne existe pas poly??dre dont les faces sont tous identiques et sont des polygones r??guliers avec six c??t??s ou plus parce que le sommet de trois hexagones r??guliers d??finit un plan. (Voir infinie poly??dre biais des exceptions avec zigzaguant chiffres sommet.)

Delta??dres

Un delta??dre (delta??dres pluriel) est un poly??dre dont les faces sont tous les triangles ??quilat??raux. Il ya une infinit?? de delta??dres, mais seulement huit d'entre eux sont convexes:

• 3 poly??dres r??guliers convexes (3 des solides de Platon)
  • T??tra??dre
  • Octa??dre
  • Icosa??dre
• 5 non uniforme poly??dres convexes (5 des solides de Johnson)
  • Dipyramid triangulaire
  • Dipyramid pentagonale
  • Disph??no??de adouci
  • Prisme triangulaire triaugment??
  • Dipyramid carr?? Gyroelongated

Solides de Johnson

Norman Johnson recherch??e qui poly??dres non uniforme avait visages r??guliers. En 1966 , il a publi?? une liste de 92 solides convexes, maintenant connu sous le nom Solides de Johnson, et leur ont donn?? leurs noms et num??ros. Il n'a pas prouv?? qu'il y avait seulement 92, mais il a fait des conjectures qu'il n'y avait pas d'autres. Victor Zalgaller en 1969 se est av??r?? que la liste de Johnson ??tait compl??te.

D'autres familles importantes de poly??dres

Pyramides

Pyramides comprennent certains des plus s??culaire et c??l??bre de tous les poly??dres.

Stellations et facettings

Stellation d'un poly??dre est le processus d'extension des faces (dans leurs plans) afin qu'ils se rencontrent pour former un nouveau poly??dre.

Ce est la r??ciproque exacte du processus de facettage qui est le processus d'enlever des parties d'un poly??dre sans cr??er de nouveaux sommets.

Zono??dres

Un zono??dre est un poly??dre convexe o?? chaque visage est un polygone avec inversion sym??trie ou, de fa??on ??quivalente, en vertu de la sym??trie des rotations de 180 ??.

Compos??s

Compos??s poly??driques sont form??es en tant que compos??s de deux ou plusieurs poly??dres.

Ces compos??s partagent souvent les m??mes sommets que les autres poly??dres et sont souvent form??es par constellation. Certains sont ??num??r??s dans le liste des mod??les poly??dre Wenninger.

Orthogonal Polyhedra

Un poly??dre est une orthogonal dont toutes les faces se rencontrent ?? angle droit, et dont toutes les ar??tes sont parall??les aux axes d'un syst??me de coordonn??es cart??siennes. Mis ?? part une bo??te rectangulaire, poly??dres orthogonaux sont non convexe. Ils sont les analogues de 2D en 3D polygones orthogonaux (??galement connus sous le nom polygones rectilignes). Poly??dres orthogonaux sont utilis??s dans g??om??trie algorithmique, o?? leur structure contraint a permis des avanc??es sur les probl??mes non r??solus pour les poly??dres arbitraires, par exemple, se d??roule la surface d'un poly??dre ?? un net (poly??dre).

Les g??n??ralisations de poly??dres

Le nom 'poly??dre' est venu ?? ??tre utilis?? pour une vari??t?? d'objets ayant des propri??t??s structurales similaires ?? poly??dres traditionnelle.

Apeirohedra

Une surface poly??drique classique comprend finie, r??gions planes d??limit??es, rejoint par paires le long des bords. Si une telle surface se ??tend ind??finiment, il est appel?? un apeirohedron. Les exemples incluent:

• Pavages ou pavages du plan.
• structures ??ponge appel??s infinie poly??dres biais.

Voir aussi: Apeirogon - infinie polygone r??gulier: {∞}

Poly??dres Complexe

Un poly??dre est un complexe qui est construit 3-espace unitaire. Cet espace dispose de six dimensions: trois vrais correspondant ?? l'espace ordinaire, avec chacun accompagn?? d'une dimension imaginaire. Voir, par exemple Coxeter (1974).

Poly??dres incurv??e

Certains domaines d'??tudes permettra poly??dres d'avoir des visages et des bords incurv??s.

Poly??dres sph??riques

La surface d'une sph??re peut ??tre divis??e en segments de ligne dans des r??gions limit??es, pour former un poly??dre sph??rique. Une grande partie de la th??orie des poly??dres sym??trique est le plus commod??ment d??riv?? de cette mani??re.

Poly??dres sph??riques ont une histoire longue et respectable:

• Les premiers poly??dres artificiels connus sont poly??dres sph??riques sculpt?? dans la pierre.
• Poinsot utilis?? poly??dres sph??riques de d??couvrir les quatre poly??dres r??guliers ??toiles.
• Coxeter les a utilis??s pour ??num??rer tous, mais l'un des poly??dres uniformes.

Certains poly??dres, comme hosohedra, exister que comme poly??dres sph??riques et ont pas d'analogue ?? face plate.

Curved spacefilling poly??dres

Deux types importants sont:

• Bulles dans mousses et mousses.
• Spacefilling formulaires utilis??s dans l'architecture. Voir, par exemple Pearce (1978).

Plus besoin d'??tre dit ?? propos de ceux-ci, aussi.

Poly??dres g??n??ral

Plus r??cemment math??matiques a d??fini un poly??dre comme un ensemble en r??el affine (ou euclidienne ) de tout l'espace ?? n dimensions dont les c??t??s plats. Il pourrait ??tre d??fini comme l'union d'un nombre fini de poly??dres convexes, o?? un poly??dre convexe est un ensemble qui est l'intersection d'un nombre fini de demi-espaces. Il peut ??tre limit??e ou illimit??e. Dans ce sens, un polytope est un poly??dre born??.

Tous les poly??dres traditionnels sont des poly??dres g??n??ral, et en plus il ya des exemples comme:

• Un secteur circulaire dans le plan. Par exemple, la r??gion du plan cart??sien constitu?? de tous les points au-dessus de l'axe horizontal et ?? la droite de l'axe vertical: {(x, y): x ≥ 0, y ≥ 0}. Ses c??t??s sont les deux axes positifs.
• Un octant en 3-espace euclidien, {(x, y, z): x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}.
• Un prisme de mesure infinie. Par exemple, un prisme carr?? doublement infini en 3-espace, form?? d'un carr?? dans le Plane xy balay?? le long de l'axe z: {(x, y, z): 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} .
• Chaque cellule dans une Tessellation de Vorono?? est un poly??dre convexe. Dans la mosa??que de Voronoi d'un ensemble S, la cellule A correspondant ?? un point c ∈ S est d??limit??e (d'o?? un poly??dre traditionnel) lorsque c se situe dans la int??rieur de la enveloppe convexe de S, et le cas contraire (lorsqu'il se trouve sur le c limite de la coque convexe de S) A est illimit??e.

Poly??dres face ou squelettique creuse

Il ne est pas n??cessaire de remplir le visage d'un personnage avant que nous puissions l'appeler un poly??dre. Par exemple Leonardo da Vinci a con??u des mod??les de cadre des solides r??guliers, dont il a dessin?? pour Le livre de Pacioli Divina Proportione. Dans les temps modernes, Branko Gr??nbaum (1994) a fait une ??tude sp??ciale de cette classe de poly??dres, dans lequel il a d??velopp?? une id??e pr??coce des poly??dres abstrait. Il a d??fini un visage comme un ensemble ordonn?? de sommets de mani??re cyclique, et a permis faces ?? biaiser ainsi que plane.

Tessellations ou pavages

Tessellations ou pavages du plan sont parfois trait??s comme des poly??dres, parce qu'ils ont beaucoup en commun. Par exemple les r??guliers peuvent ??tre donn??s Symboles Schl??fli.

Poly??dres non-g??om??trique

Diverses constructions math??matiques ont ??t?? trouv??s comme ayant des propri??t??s aussi pr??sents dans poly??dres traditionnelle.

Poly??dres topologique

Un polytope topologique est un espace topologique donn??e avec une d??composition sp??cifique dans des formes qui sont topologiquement ??quivalent ?? polytopes convexes et qui sont attach??s les uns aux autres d'une mani??re r??guli??re.

Un tel chiffre est appel?? simplicial si chacune de ses r??gions est une simplex, ce est ?? dire dans un espace de dimension n chaque r??gion a une n sommets. Le double d'un polytope simplicial est appel?? simple. De m??me, une classe largement ??tudi?? des polytopes (poly??dres) est celle de poly??dres cubique, lorsque le bloc de construction de base est un cube de dimension n.

R??sum?? poly??dres

Un r??sum?? est un poly??dre partiellement ordonn?? set (ensemble ordonn??) des ??l??ments. Les th??ories diff??rent dans les d??tails, mais essentiellement les ??l??ments de l'ensemble correspondent au corps, faces, ar??tes et sommets du poly??dre. L'ensemble vide correspond au polytope nulle ou nullitope, qui a une dimension de -1. Ces posets appartiennent ?? la grande famille des polytopes abstraits dans un certain nombre de dimensions.

Poly??dres sous forme de graphiques

Tout poly??dre donne lieu ?? une graphique, ou squelette, avec des sommets et ar??tes correspondantes. Ainsi terminologie et les propri??t??s graphique peuvent ??tre appliqu??s ?? des poly??dres. Par exemple:

• En raison de Steinitz th??or??me de poly??dres convexes sont en correspondance un-??-un avec graphes planaires 3-connexes.
• Le t??tra??dre donne lieu ?? une graphe complet (K _4). Ce est le seul poly??dre de le faire.
• L' octa??dre donne lieu ?? une fortement graphe r??gulier, parce sommets adjacents ont toujours deux communes voisines, et sommets non adjacents ont quatre.
• Le Solides d'Archim??de donnent lieu ?? graphiques r??guliers: sept des solides d'Archim??de sont des degr?? 3, 4 de degr?? 4, et le reste sont deux paires chirales de degr?? 5.

Histoire

Pr??histoire

Pierres taill??es dans des formes montrant les sym??tries de divers poly??dres ont ??t?? trouv??s dans l'Ecosse et peuvent ??tre autant ??g?? de 4000 ans. Ces pierres montrent non seulement la forme de divers polyehdra sym??trique, mais aussi les relations de la dualit?? entre certains d'entre eux (ce est que les centres des faces du cube donne les sommets d'un octa??dre, et ainsi de suite). Des exemples de ces pierres sont expos??es dans le Chambre John Evans de la Ashmolean Museum ?? Oxford University . Il est impossible de savoir pourquoi ces objets ont ??t?? faites, ou comment le sculpteur a gagn?? l'inspiration pour eux.

Autres poly??dres ont bien s??r fait leur marque dans l'architecture - des cubes et des parall??l??pip??des ??tant des exemples ??vidents, avec les pyramides premiers ?? quatre c??t??s de l'ancienne Egypte aussi datant de l'??ge de pierre.

Le ??trusques ont pr??c??d?? les Grecs dans leur prise de conscience de certains au moins des poly??dres r??guliers, comme en t??moigne la d??couverte pr??s Padoue (dans le nord de l'Italie ) ?? la fin des ann??es 1800 d'un dod??ca??dre constitu?? de st??atite, et datant de plus de 2500 ann??es (Lindemann, 1987). Pyritohedric cristaux se trouvent dans le nord de l'Italie.

Grecs

Les premiers enregistrements connus ??crites de ces formes proviennent de classiques grecs auteurs, qui ont ??galement donn?? la description math??matique d'abord connu d'entre eux. Les premiers Grecs ??taient int??ress??s principalement dans le poly??dres r??guliers convexes, tandis que d'Archim??de ensuite ??largi son ??tude ?? la convexes poly??dres uniformes.

Musulmans et les Chinois

Apr??s la fin de l'??re classique, savants islamiques ont continu?? ?? faire des progr??s, par exemple dans le Xe si??cle Abu'l Wafa d??crit les poly??dres sph??rique r??guli??re et quasiregular convexe. Pendant ce temps en Chine, la dissection du cube dans son t??tra??dre caract??ristique (orthoscheme) et solides apparent??s a ??t?? utilis?? comme base pour le calcul des volumes de terre pour ??tre d??plac?? lors de fouilles d'ing??nierie.

Renaissance

Beaucoup ?? dire ici: Piero della Francesca, Pacioli, L??onard de Vinci, Wenzel Jamnitzer, Durer, etc. menant ?? Kepler.

Poly??dres ??toiles

Pour pr??s de 2000 ans, le concept d'un poly??dre ??tait rest?? tel que d??velopp?? par les anciens math??maticiens grecs.

Johannes Kepler est rendu compte que polygones ??toil??s pourraient ??tre utilis??s pour construire des poly??dres ??toiles, qui ont polygones r??guliers non convexes, typiquement pentagrammes que visages. Certains de ces poly??dres ??toiles aient pu ??tre d??couverts avant l'??poque de Kepler, mais il ??tait le premier ?? reconna??tre qu'ils pourraient ??tre consid??r??s comme ??ordinaire?? si l'on lev?? la restriction qui polytopes r??guliers ??tre convexe. Plus tard, Louis Poinsot r??alis?? cette ??toile chiffres vertex (circuits autour de chaque coin) peuvent ??galement ??tre utilis??s, et ont d??couvert les deux poly??dres ??toiles r??guli??re restant. Cauchy a prouv?? la liste compl??te Poinsot, et leur a donn?? Cayley leurs noms anglais accept??s: (Kepler) le petit dod??ca??dre ??toil?? et grand dod??ca??dre ??toil??, et (Poinsot de) la grand icosa??dre et grand dod??ca??dre. Collectivement, ils sont appel??s les Poly??dres Kepler-Poinsot.

Les poly??dres de Kepler-Poinsot peut ??tre construite ?? partir des solides de Platon par un processus appel?? constellation. La plupart des constellations ne sont pas r??guli??res. L'??tude des constellations des solides de Platon a ??t?? donn?? une grande pouss??e par HSM Coxeter et d'autres en 1938, avec le d??sormais fameux papier Le 59 icosa??dres. Ce travail a r??cemment ??t?? re-publi?? (Coxeter, 1999).

Le processus r??ciproque aux constellation est appel??e facettage (ou facettes). Chaque constellation d'un polytope est double, ou r??ciproque, dans une certaine facettage de la double polytope. Le poly??dres r??guliers en ??toile peut aussi ??tre obtenue par facettage les solides de Platon. Pont 1974 a ??num??r?? les facettings simples du dod??ca??dre, et de leur r??ciproque de d??couvrir une stellation de l'icosa??dre qui manquait de la c??l??bre "59". Plus ont ??t?? d??couverts depuis, et l'histoire ne est pas encore termin??.

Voir aussi:

• Poly??dre r??gulier: Histoire
• Polytope r??gulier: Histoire de la d??couverte.

Polyhedra dans la nature

Pour des ??v??nements naturels de poly??dres r??guliers, voir Poly??dre r??gulier: Histoire.

Poly??dres irr??guliers apparaissent dans la nature comme des cristaux .

Livres sur poly??dres

Livres d'introduction, convient ??galement pour un usage scolaire

• Cromwell, P .; Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999).
• Cundy, HM & Rollett, AP; mod??les math??matiques, 1??re ??d. hbk OUP (1951), 2??me ??dition. hbk OUP (1961), 3e ??d. pbk Tarquin (1981).
• Holden; Formes, l'espace et la sym??trie, (1971), Dover pbk (1991).
• Pearce, P et Pearce, S: Polyhedra amorce, Van Nost. Reinhold (mai 1979), ISBN-10: 0442264968 ISBN-13: 978-0442264963.
• Tarquin publications: livres de d??coupe et font des mod??les de cartes.
• Wenninger, les mod??les M .; Polyhedron pour la salle de classe, pbk (1974)
• Wenninger, les mod??les M .; Polyhedron, CUP hbk (1971), pbk (1974).
• Wenninger, sph??rique mod??les, CUP de M.
• Wenninger, double mod??les, CUP de M.

Premier cycle

• Coxeter, HSM DuVal, Flather & Petrie; La cinquante-neuf icosa??dres, 3e ??d. Tarquin.
• Coxeter, HSM Douze essais g??om??triques. R????dit?? comme La beaut?? de la g??om??trie, Dover.
• Thompson, Sir D'AW sur la croissance et la forme, (1943). (Ne sais pas si ce est la bonne cat??gorie pour celui-ci, je ne ai pas lu).

Design et architecture biais

• Critchlow, K .; ordre dans l'espace.
• Pearce, P .; Structure dans la nature est une strat??gie pour la conception, le MIT (1978)
• Williams, R .; La fondation g??om??trique de la structure naturelle, Dover (1979).

Textes math??matiques avanc??es

• Coxeter, HSM; polytopes r??guliers 3e ??d. Dover (1973).
• Coxeter, HSM; polytopes complexes r??guli??res, CUP (1974).
• Lakatos, Imre; Preuves et R??futations, Cambridge University Press (1976) - la discussion de la preuve de caract??ristique d'Euler
• Plusieurs de plus ?? ajouter ici.

Livres historiques

• Br??ckner, Vielecke und Vielflache (polygones et poly??dres), (1900).
• Fejes Toth, L .;