Fonction de Bessel

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En math??matiques , les fonctions de Bessel, d'abord d??finis par le math??maticien Daniel Bernoulli et g??n??ralis??e par Friedrich Bessel, sont solutions canonique y (x) de Bessel de l'??quation diff??rentielle :

$x ^ 2 \ frac {d ^ 2 y} {dx} ^ 2 + x \ frac {} {dx dy} + (x ^ 2 - \ alpha ^ 2) y = 0$

pour une quelconque nombre r??el ou complexe α. Le cas particulier le plus commun et important est l'endroit o?? α est un entier n, alors α est appel?? l'ordre de la fonction de Bessel.

Bien que α et -α produire la m??me ??quation diff??rentielle, il est classique de d??finir des fonctions de Bessel de ces deux commandes (par exemple, de sorte que les fonctions sont des fonctions de Bessel essentiellement lisses de α). Fonctions de Bessel sont ??galement connus comme les fonctions cylindre ou harmoniques cylindriques parce qu'ils se trouvent dans la solution ?? L'??quation de Laplace dans Les coordonn??es cylindriques.

Applications

L'??quation de Bessel se pose lorsque la recherche de solutions ?? s??parables L'??quation de Laplace et le ??quation de Helmholtz ?? cylindrique ou coordonn??es sph??riques . Fonctions de Bessel sont donc particuli??rement important pour de nombreux probl??mes de la propagation des ondes, les potentiels statiques, et ainsi de suite. Dans la r??solution des probl??mes dans les syst??mes de coordonn??es cylindrique, on obtient les fonctions de Bessel d'ordre entier (de α = n); des probl??mes sph??riques, on obtient des commandes demi-entiers (α = n + ??). Par exemple:

des ondes ??lectromagn??tiques dans un cylindrique guide d'ondes
la conduction de la chaleur dans un objet cylindrique.
modes de vibration d'une circulaire mince (ou annulaire) membrane artificielle.
probl??mes de diffusion sur un r??seau.

Fonctions de Bessel ont ??galement des propri??t??s utiles pour d'autres probl??mes, tels que le traitement de signal (par exemple, voir La synth??se FM, Fen??tre de Kaiser, ou Filtre de Bessel).

D??finitions

Puisque ce est une ??quation diff??rentielle du second ordre, il doit y avoir deux solutions lin??airement ind??pendantes. Selon les circonstances, cependant, diff??rentes formulations de ces solutions sont pratiques, et les diff??rentes variantes sont d??crites ci-dessous.

Fonctions de Bessel du premier type: $J_ \ alpha$

Fonctions de Bessel de la premi??re esp??ce, not?? J _α (x), sont des solutions de l'??quation diff??rentielle de Bessel qui sont finis ?? l'origine (x = 0) pour entiers non-n??gatifs α et divergent x tend vers z??ro pour les non-entier n??gatif α. Le type de solution (par exemple, nombre entier ou non entier) et la normalisation de J _α (x) sont d??finis par les propri??t??s ci-dessous. Pour les solutions d'ordre entier, il est possible de d??finir la fonction en sa s??rie de Taylor autour d'extension x = 0:

$J_ \ alpha (x) = \ {sum_ m = 0} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ m} {m! \ Gamma (m + \ alpha + 1)} {\ left ({\ frac {x} {2}} \ right)} ^ {2m + \ alpha}$

o?? $\ Gamma (z)$ est le fonction gamma, une g??n??ralisation de la factorielle fonction pour des valeurs non enti??res. Pour non entier α, un plus g??n??rale s??rie de puissance agrandissement est n??cessaire. Les graphiques des fonctions de Bessel regardent ?? peu pr??s comme oscillant fonctions sinus ou cosinus qui se d??sint??grent proportionnellement ?? 1 / √ x (voir aussi leurs formes asymptotiques ci-dessous), bien que leurs racines ne sont g??n??ralement pas p??riodique, sauf pour les grandes asymptotiquement x. (La s??rie de Taylor indique que $-J_1 (X)$ est la d??riv??e de $J_0 (x)$ , Un peu comme $- \ P??ch??$ est la d??riv??e de $\ cos$ ; plus g??n??ralement, le d??riv?? de $J_n (x)$ peut ??tre exprim??e en termes de $J_ {n \ h 1} (x)$ par les identit??s ci-dessous ).

Parcelle de fonction de Bessel de la premi??re esp??ce, J _α (x), pour les commandes entiers α = 0,1,2.

Pour les non-entiers α, les fonctions $J_ \ alpha (x)$ et $J _ {- \ alpha} (x)$ sont lin??airement ind??pendants, et sont donc les deux solutions de l'??quation diff??rentielle. D'autre part, pour l'ordre entier $\ Alpha$ , La relation suivante est valable:

$J _. {-} N (x) = (-1) ^ n J_ {n} (x) \,$

Cela signifie que les deux solutions ne sont lin??airement ind??pendants. Dans ce cas, la deuxi??me solution lin??airement ind??pendante est ensuite r??v??l??e ??tre la fonction de Bessel de la seconde esp??ce, comme on le verra ci-dessous.

Les int??grales de Bessel

Une autre d??finition de la fonction de Bessel, pour des valeurs enti??res de $n$ , Est possible en utilisant une repr??sentation int??grale:

$J_n (x) = \ frac {1} {\ pi} \ int_ {0} ^ {\ pi} \ cos (n \ tau - x \ sin \ tau) d \ tau.$

Ce est l'approche que Bessel utilis??, et ?? partir de cette d??finition qu'il tirait plusieurs propri??t??s de la fonction.

Une autre repr??sentation int??grale est:

$J_n (x) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} e ^ {- i (n \ tau - x \ sin \ tau)} d \ tau$

Relation ?? la s??rie hyperg??om??trique

Les fonctions de Bessel peuvent ??tre exprim??es en termes de s??ries hyperg??om??triques que

$J_ \ alpha (z) = \ frac {(z / 2) ^ \ alpha} {\ Gamma (\ alpha + 1)} \; _ 0F_1 (\ alpha + 1; z ^ 2/4).$

Cette expression est en relation avec le d??veloppement de fonctions de Bessel en termes de Fonction de Bessel-Clifford.

Fonctions de Bessel de deuxi??me type: $Y_ \ alpha$

Les fonctions de Bessel de deuxi??me type, d??sign??s par Y _α (x), sont des solutions de l'??quation diff??rentielle de Bessel. Ils sont singuliers ( infinie) ?? l'origine (x = 0).

Parcelle de fonction de Bessel de la seconde esp??ce, Y _α (x), pour les commandes entiers α = 0,1,2.

Y _α (x) est parfois aussi appel?? la fonction Neumann, et est occasionnellement not?? la place de N _α (x). Pour non entiers α, elle est li??e ?? J _α (x) par:

$Y_ \ alpha (x) = \ frac {J_ \ alpha (x) \ cos (\ alpha \ pi) - J _ {- \ alpha} (x)} {\ sin (\ alpha \ pi)}.$

Dans le cas de l'ordre n nombre entier, la fonction est d??finie en prenant la limite comme un non entier α tend ?? n ':

$Y_n (x) = \ lim _ {\ alpha \ ?? n} Y_ \ alpha (x),$

qui a pour cons??quence (sous forme int??grale)

$Y_n (x) = \ frac {1} {\ pi} \ int_ {0} ^ {\ pi} \ sin (x \ sin \ theta - n \ theta) d \ theta - \ frac {1} {\ pi} \ int_ {0} ^ {\ infty} \ left [e ^ {nt} + (-1) ^ ne ^ {- nt} \ right] e ^ {- x \ sinh t} dt.$

Pour le cas de non-entiers α, la d??finition de Y _α (x) est redondant (comme il ressort de la d??finition ci-dessus). D'autre part, lorsque α est un nombre entier, Y _α (x) est la deuxi??me solution lin??airement ind??pendantes de l'??quation de Bessel; De plus, comme ce ??tait le cas est similaire pour les fonctions de la premi??re sorte, la relation suivante est valable:

$Y _. {-} N (x) = (-1) ^ n y_n (x) \,$

Les deux J _α (x) et Y _α (x) sont fonctions holomorphes de x sur le plan complexe coup??s le long de l'axe r??el n??gatif. Quand α est un nombre entier, il ne est pas point de ramification, et les fonctions de Bessel sont fonctions enti??res de x. Si x est maintenu fixe, puis les fonctions de Bessel sont des fonctions enti??res de α.

Fonctions de Hankel: $H_ \ alpha$

Une autre formulation important des deux solutions lin??airement ind??pendantes de l'??quation de Bessel sont les fonctions de Hankel H _α ^{(1) (x)} _α et H ⁽²⁾ (x), d??finies par:

$H_ \ alpha ^ {(1)} (x) = J_ \ alpha (x) + i Y_ \ alpha (x)$

$H_ \ alpha ^ {(2)} (x) = J_ \ alpha (x) - i Y_ \ alpha (x)$

o?? i est l' unit?? imaginaire . Ces combinaisons lin??aires sont ??galement connus comme les fonctions de Bessel du troisi??me type; ils sont deux solutions lin??airement ind??pendantes de l'??quation diff??rentielle de Bessel. Les fonctions de Hankel du premier et du second type sont utilis??s pour exprimer vers l'ext??rieur et vers l'int??rieur se propageant solutions d'ondes cylindrique de l'??quation d'onde cylindrique, respectivement (ou vice versa, en fonction de la convention de signe pour le fr??quence). Ils sont nomm??s d'apr??s Hermann Hankel.

En utilisant les relations pr??c??dentes, ils peuvent se exprimer ainsi:

$H _ {\ alpha} ^ {(1)} (x) = \ frac {J _ {- \ alpha} (x) - e ^ {- \ alpha \ pi i} J_ \ alpha (x)} {i \ sin ( \ alpha \ pi)}$

$H _ {\ alpha} ^ {(2)} (x) = \ frac {J _ {- \ alpha} (x) - e ^ {\ alpha \ pi i} J_ \ alpha (x)} {- i \ sin ( \ alpha \ pi)}$

si α est un nombre entier, la limite doit ??tre calcul??e. Les relations suivantes sont valides, si α est un nombre entier ou non:

$H _ {- \ alpha} ^ {(1)} (x) = e ^ {\ alpha \ pi} i H _ {\ alpha} ^ {(1)} (x)$

$H _ {- \ alpha} ^ {(2)} (x) = e ^ {- \ alpha \ pi} i H _ {\ alpha} ^ {(2)} (x)$

Fonctions de Bessel modifi??es: $I_ \ alpha, K_ \ alpha$

Les fonctions de Bessel sont valables m??me pour complexes arguments x, et un cas particulier important est celui d'un argument purement imaginaire. Dans ce cas, les solutions de l'??quation de Bessel sont appel??s les fonctions de Bessel modifi??es (ou parfois les fonctions de Bessel hyperboliques) du premier et du deuxi??me type, et sont d??finies par:

$I_ \ alpha (x) = i ^ {- \ alpha} J_ \ alpha (ix) \!$

$K_ \ alpha (x) = \ frac {\ pi} {2} \ frac {Je _ {- \ alpha} (x) - I_ \ alpha (x)} {\ sin (\ alpha \ pi)} = \ frac { \ pi} {2} i ^ {\ alpha + 1} H_ \ alpha ^ {(1)} (ix) \!$

Ceux-ci sont choisis pour ??tre de valeur r??elle pour les arguments r??els x. Le d??veloppement en s??rie de I _α (x) est donc analogue ?? celle J _α (x), mais sans l'alternance (-1) Facteur ^{de m.}

Je _α (x) et K _α (x) sont les deux solutions lin??airement ind??pendantes de l'??quation de Bessel modifi??e:

$x ^ 2 \ frac {d ^ 2 y} {dx} ^ 2 + x \ frac {} {dx dy} - (x ^ 2 + \ alpha ^ 2) y = 0.$

Contrairement aux fonctions de Bessel ordinaires, qui sont oscillant fonctions d'un v??ritable argument, je _α et K _α sont en croissance exponentielle et fonctions en d??composition, respectivement. Comme l'ordinaire la fonction de Bessel J _α, la fonction I _α tend vers z??ro ?? x = 0 pour α> 0 et est fini en x = 0 pour α = 0. De mani??re analogue, K _α diverge en x = 0.

Fonctions de Bessel modifi??es de 1er type, je _α (x), pour α = 0,1,2,3

Fonctions de Bessel modifi??es de 2??me type, K _α (x), pour α = 0,1,2,3

La fonction de Bessel modifi??e de deuxi??me esp??ce a ??galement ??t?? appel?? par les noms maintenant rares:

Fonction Basset
fonction de Bessel modifi??e du troisi??me type
Fonction MacDonald

Sph??riques fonctions de Bessel: $j_n, y_n$

Fonctions de Bessel sph??riques de 1er type, j _n (x), pour n = 0,1,2

Fonctions de Bessel sph??riques de type 2, y _n (x), pour n = 0,1,2

Lorsque la r??solution du ??quation de Helmholtz en coordonn??es sph??riques par s??paration des variables, l'??quation radiale a la forme:

$x ^ 2 \ frac {d ^ 2 y} {dx} ^ 2 + 2x \ frac {} {dx dy} + [x ^ 2 - n (n + 1)] y = 0.$

Les deux solutions lin??airement ind??pendantes de cette ??quation sont appel??s les fonctions de Bessel sph??rique j _n et y _n, et sont li??s ?? l'ordinaire fonctions de Bessel J _n et Y _n par:

$j_n (x) = \ sqrt {\ frac {\ pi} {2x}} {n J_ + 1/2} (x),$

$y_n (x) = \ sqrt {\ frac {\ pi} {2x}} {Y_ n + 1/2} (x) = (-1) ^ {n + 1} \ sqrt {\ frac {\ pi} { 2x}} {_ J - n-1/2} (x).$

$y_n$ est ??galement not??e $n_n$ ou η _n; certains auteurs appellent ces fonctions les fonctions sph??riques Neumann.

Les fonctions de Bessel sph??riques peuvent ??galement se ??crire:

$j_n (x) = (-x) ^ n \ left (\ frac {1} {x} \ frac {d} {dx} \ right) ^ n \, \ frac {\ sin x} {x},$

$y_n (x) = - (- x) ^ n \ left (\ frac {1} {x} \ frac {d} {dx} \ right) ^ n \, \ frac {\ cos x} {x}.$

La premi??re fonction de Bessel sph??rique $j_0 (x)$ est ??galement connue sous le nom (non normalis??e) fonction sinc. Les premi??res fonctions de Bessel sph??riques sont:

$j_0 (x) = \ frac {\ sin x} {x}$

$j_1 (x) = \ frac {\ sin x} {x ^ 2} - \ frac {\ cos x} {x}$

$j_2 (x) = \ left (\ frac {3} {x} ^ 2 - 1 \ right) \ frac {\ sin x} {x} - \ frac {3 \ cos x} {x ^ 2}$

$Y_0 (x) = - j _ {- 1} (x) = - \, \ frac {\ cos x} {x}$

$y_1 (x) = j _ {- 2} (x) = - \, \ frac {\ cos x} {x ^ 2} - \ frac {\ sin x} {x}$

$Y_2 (x) = - j _ {- 3} (x) = \ gauche (- \, \ frac {3} {x ^ 2} 1 \ right) \ frac {\ cos x} {x} - \ frac { 3 \ sin x} {x ^ 2}.$

Il ya aussi des analogues sph??riques des fonctions de Hankel:

$h_n ^ {(1)} (x) = j_n (x) + i y_n (x)$

$h_n ^ {(2)} (x) = j_n (x) - y_n i (x).$

En fait, il ya des simples expressions forme ferm??e pour les fonctions de Bessel de Afin demi-entier en termes de la norme fonctions trigonom??triques , et donc pour les fonctions de Bessel sph??riques. En particulier, pour les entiers non-n??gatifs n:

$h_n ^ {(1)} (x) = (-i) ^ {n + 1} \ frac {e ^ {ix}} {x} \ {sum_ m = 0} ^ n \ frac {i ^ m} { m! (2x) ^ m} \ frac {(n + m)!} {(nm)!}$

et h _n ⁽²⁾ est le complexe conjugu?? de la pr??sente (par r??el x). Il en r??sulte, par exemple, que j ₀ (x) = sin (x) / x ₀ et y (x) = cos (x) / x, et ainsi de suite.

Fonctions Riccati-Bessel: $S_n, C_n, \ zeta_n$

Fonctions de Riccati-Bessel diff??rent que l??g??rement des fonctions de Bessel sph??riques:

$S_n (x) = x j_n (x) = \ sqrt {\ pi x / 2} {n J_ + 1/2} (x)$

$C_n (x) = - x y_n (x) = - \ sqrt {\ pi x / 2} {Y_ n + 1/2} (x)$

$\ Zeta_n (x) = x ^ {h_n (2)} (x) = \ sqrt {\ pi x / 2} {H_ n + 1/2} ^ {(2)} (x) = S_n (x) + iC_n (x)$

Ils satisfont l'??quation diff??rentielle:

$x ^ 2 \ frac {d ^ y} 2 {^ 2} dx + [x ^ 2 - n (n + 1)] y = 0$

Cette ??quation diff??rentielle, et les solutions de Riccati-Bessel, se pose dans le probl??me de la diffusion des ondes ??lectromagn??tiques par une sph??re, connu sous le nom Diffusion de Mie apr??s la premi??re solution publi??e par Mie (1908). Voir, par exemple Du (2004) pour les d??veloppements r??cents et les r??f??rences.

Suivant Debye (1909), la notation $\ Psi_n, \ chi_n$ est parfois utilis?? ?? la place de $S_n, C_n$ .

Formes asymptotiques

Les fonctions de Bessel sont les suivantes formes asymptotiques pour α non-n??gative. Pour les petits arguments $0 <x \ ll \ sqrt {\ alpha + 1}$ , On obtient:

$J_ \ alpha (x) \ rightarrow \ frac {1} {\ Gamma (\ alpha + 1)} \ left (\ frac {x} {2} \ right) ^ \ alpha$

$Y_ \ alpha (x) \ rightarrow \ gauche \ {\ begin {matrix} \ frac {2} {\ pi} \ left [\ ln (x / 2) + \ gamma \ right] et \ mbox {if} \ alpha = 0 \\ \\ - \ frac {\ Gamma (\ alpha)} {\ pi} \ left (\ frac {2} {x} \ right) ^ \ alpha et \ mbox {if} \ alpha> 0 \ end {matrix} \ right.$

o?? γ est le Euler-Mascheroni constant (0,5772 ...) et Γ d??signe la fonction gamma. Pour les grands arguments $x \ gg | \ alpha ^ 2 - 1/4 |$ , Ils deviennent:

$J_ \ alpha (x) \ rightarrow \ sqrt {\ frac {2} {\ pi x}} \ cos \ left (x \ frac {\ alpha \ pi} {2} - \ frac {\ pi} {4} \ right)$

$Y_ \ alpha (x) \ rightarrow \ sqrt {\ frac {2} {\ pi x}} \ sin \ gauche (x \ frac {\ alpha \ pi} {2} - \ frac {\ pi} {4} \ right).$

(Pour α = 1/2 ces formules sont exactes, voir les fonctions de Bessel sph??riques ci-dessus.) Formes asymptotique pour les autres types de fonction de Bessel suivent carr??ment des relations ci-dessus. Par exemple, pour les grands $x \ gg | \ alpha ^ 2 - 1/4 |$ , Les fonctions de Bessel modifi??es deviennent:

$I_ \ alpha (x) \ rightarrow \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi x}} e ^ x,$

$K_ \ alpha (x) \ rightarrow \ sqrt {\ frac {\ pi} {2x}} e ^ {- x}.$

tandis que pour les petits arguments $0 <x \ ll \ sqrt {\ alpha + 1}$ , Ils deviennent:

$I_ \ alpha (x) \ rightarrow \ frac {1} {\ Gamma (\ alpha + 1)} \ left (\ frac {x} {2} \ right) ^ \ alpha$

$K_ \ alpha (x) \ rightarrow \ gauche \ {\ begin {matrix} - \ ln (x / 2) - \ gamma & \ mbox {if} \ alpha = 0 \\ \\ \ frac {\ Gamma (\ alpha )} {2} \ left (\ frac {2} {x} \ right) ^ \ alpha et \ mbox {if} \ alpha> 0 \ end {matrix} \ right.$

Propri??t??s

Pour entier afin α = n, J _n est souvent d??finie par un Laurent s??rie pour une fonction de g??n??ration:

$e ^ {(x / 2) (t-1 / t)} = \ {n = sum_ - \ infty} ^ \ infty J_n (x) ^ t n,$

une approche utilis??e par PA Hansen en 1843. (Ceci peut ??tre g??n??ralis?? ?? l'ordre non entier par l'int??gration de contour ou d'autres m??thodes.) Un autre relation importante pour les commandes enti??res est le Jacobi-Anger identit??:

$e ^ {iz \ cos \ phi} = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty i ^ n J_n (z) e ^ {dans \ phi},$

qui est utilis?? pour ??tendre un onde plane comme une somme d'ondes cylindriques, ou pour trouver le s??rie de Fourier d'une tonalit?? modul??e Le signal FM.

Les fonctions _α J, Y, H _{α α} ^(1), et H _α ⁽²⁾ satisfaire ?? toutes les relations de r??currence:

$Z _ {\ alpha-1} (x) + Z _ {\ alpha + 1} (x) = \ frac {2 \ alpha} {x} Z_ \ alpha (x)$

$Z _ {\ alpha-1} (x) - Z _ {\ alpha + 1} (x) = 2 \ frac {dZ_ \ alpha} {dx}$

o?? Z d??signe J, Y, H ^(1), ou H ^(2). (Ces deux identit??s sont souvent combin??s, par exemple ajout?? ou soustrait, pour obtenir divers autres relations.) De cette fa??on, par exemple, on peut calculer les fonctions de Bessel de commandes plus ??lev??s (ou des d??riv??s plus ??lev??s) ??tant donn?? les valeurs en ordres inf??rieurs (ou d??riv??s inf??rieurs ). En particulier, il se ensuit que:

$\ Left (\ frac {d} {x dx} \ right) ^ m \ left [x ^ \ alpha Z _ {\ alpha} (x) \ right] = x ^ {\ alpha - m} Z _ {\ alpha - m } (x)$

$\ Left (\ frac {d} {x} dx \ right) ^ m \ left [\ frac {Z_ \ alpha (x)} {x ^ \ alpha} \ right] = (-1) ^ m \ frac {Z_ {\ alpha} + m (x)} {x ^ {\ alpha + m}}$

Fonctions de Bessel modifi??es suivent relations similaires:

$e ^ {(x / 2) (t + 1 / t)} = \ {n = sum_ - \ infty} ^ \ infty I_N (x) ^ t n,$

$e ^ {z \ cos \ theta} = I_0 (z) + 2 \ sum_ {n = 1} ^ \ infty I_N (z) \ cos (n \ theta),$

La relation de r??currence lit

$C _ {\ alpha-1} (x) - C _ {\ alpha + 1} (x) = \ frac {2 \ alpha} {x} C_ \ alpha (x)$

$C _ {\ alpha-1} (x) + C _ {\ alpha + 1} (x) = 2 \ frac {dC_ \ alpha} {dx}$

C o?? _α d??note je _α ou e ^{απ i} K _α. Ces relations de r??currence sont utiles pour les probl??mes de diffusion discrets.

Parce que l'??quation de Bessel devient Hermitienne (auto-adjoint) se il est divis?? par x, les solutions doivent satisfaire une relation d'orthogonalit?? des conditions aux limites appropri??es. En particulier, il se ensuit que:

$\ Int_0 ^ 1 x J_ \ alpha (x u _ {\ alpha, m}) J_ \ alpha (x u _ {\ alpha, n}) dx = \ frac {\ delta_ {m, n}} {2} [J_ { \ alpha + 1} (u _ {\ alpha, m})] ^ 2 = \ frac {\ delta_ {m, n}} {2} [J _ {\ alpha} '(u _ {\ alpha, m})] ^ 2,$

o?? α> 1, δ _{m, n} est le Kronecker delta, et u _{α, m} est la m i??me de z??ro J _α (x). Cette relation d'orthogonalit?? peut ensuite ??tre utilis?? pour extraire les coefficients de la S??rie de Fourier-Bessel, o?? une fonction est d??tendu dans la base des fonctions J _α (x u _α, α _m) pour fixe et variable m. (Une relation analogue pour les fonctions de Bessel sph??riques suit imm??diatement.)

Une autre relation d'orthogonalit?? est l'??quation de fermeture:

$\ Int_0 ^ \ infty x J_ \ alpha (ux) J_ \ alpha (vx) dx = \ frac {1} {u} \ delta (u - v)$

pour α> -1/2 et o?? δ est la Fonction de Dirac. Cette propri??t?? est utilis??e pour construire une fonction arbitraire parmi une s??rie de fonctions de Bessel au moyen de la Transform??e de Hankel. Pour les fonctions de Bessel sph??riques la relation d'orthogonalit?? est:

$\ Int_0 ^ \ infty x ^ 2 j_ \ alpha (ux) j_ \ alpha (vx) dx = \ frac {\ pi} {2U ^ 2} \ delta (u - v)$

pour α> 0.

Une autre propri??t?? importante des ??quations de Bessel, qui d??coule de L'identit?? d'Abel, implique la Wronskien des solutions:

$A_ \ alpha (x) \ frac {db_ \ alpha} {dx} - \ frac {da_ \ alpha} {dx} B_ \ alpha (x) = \ frac {C_ \ alpha} {x},$

o?? A et B _{α α} sont toutes deux des solutions de l'??quation de Bessel et C _α est une constante ind??pendante de x (qui d??pend de α, et sur les fonctions particuli??res de Bessel consid??r??s). Par exemple, si A = _α J _α et _α B = Y _{α, α} est alors C 2 / π. Cela vaut ??galement pour les fonctions de Bessel modifi??es; par exemple, si A = _α I et _α B _α = K _{α, α} est alors C -1.

(Il ya un grand nombre d'autres int??grales et des identit??s connues qui ne sont pas reproduites ici, mais qui peuvent ??tre trouv??s dans les r??f??rences.)

Multiplication th??or??me

Les fonctions de Bessel ob??issent ?? une multiplication th??or??me

$\ Lambda ^ {- \ nu} J_ \ nu (\ lambda z) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1} {!} N \ left (\ frac {(1- \ lambda ^ 2) z} {2} \ right) ^ n J _ {\ nu + n} (z)$

o?? $\ Lambda$ et $\ Nu$ peuvent ??tre pris comme des nombres complexes quelconques. Une forme similaire peut ??tre accord?? pour $Y_ \ nu (z)$ et etc. Voir

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