Usuari:Meldor/Àlgebra

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L' àlgebra és una de les principals branques de les matemàtiques, juntament amb la geometria, l'anàlisi i la teoria de nombres. L'àlgebra es pot considerar com una generalització i extensió de l'aritmètica. Estudia les estructures algebraiques, relacions i quantitats.

El terme àlgebra, ve de l'àrab al-djebr (الجبر) i significa "reunió", "connexió" o "completitud", i és part del títol d'un tractat de l'any 830 escrit pel matemàtic persa Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi: Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala ("Compendi del càlcul per completitud i balanç") escrit pel matemàtic persa Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi.

Taula de continguts 1 Classificació 2 Álgebra elemental 3 Álgebra abstracta 3.1 Grupos 3.2 Anillos y cuerpos o campos; estructuras con dos operaciones binarias 4 Álgebras 5 Historia

[edita] Classificació

El camp pot dividir-se tempativament en:

• Àlgebra elemental. Això inclou, entre d'altres, l'ús de símbols, conjunts, variables, la definició d'expressions matemàtiques com ara funcions o polinomis i la seva factorització(determinació de les seves arrels). Aquest últim problema, més conegut com a resolució d'equacions polinomials, se sol considerar l'objectiu final de l'àlgebra clàssica, i de fet el teorema fonamental de l'àlgebra en garanteix la factibilitat.
• Àlgebra abstracta, també anomenada a vegades àlgebra moderna, on es defineixen axiomàticament, entre d'altres, les estructures algebraiques de grup, anell i cos. Les propietats específiques dels espais vectorials s'estudien a l'àlgebra lineal.
• Àlgebra universal, on s'estudien de forma general els sistemes formats per un conjunt i una col·leció d'operacions sobre ell.
• Àlgebra computacional, on es recullen els algorismes per a la manipulació d'objectes matemàtics.

[edita] Álgebra elemental

Artículo principal: Álgebra elemental.

El Álgebra elemental es la forma más básica de álgebra. Se enseña a estudiantes a los que no se supone más conocimiento de matemáticas que el de los principios básicos de la aritmética. En aritmética, sólo se trabaja con los números, las cuatro operaciones básicas (+, −, ×, ÷), y los exponentes y raíces. En álgebra elemental también, pero los números (que suelen suponerse reales) se representan frecuentemente con símbolos, tales como a, x, y. Esto resulta útil porque:

• Permite formular de manera general las reglas aritméticas habituales. Puede decirse, por ejemplo, que

“para todo a y b, a+b=b+a”

Esta generalización es el primer paso hacia una exploración sistemática de las propiedades del sistema de los números reales

• Permite la referencia a números desconocidos o incógnitas, que es la base para la formulación de ecuaciones y para estudiar cómo resolverlas.

Por ejemplo: Encuentre un número x tal que 3x+1=10

• Permite la creación de relaciones funcionales,

Si vendes x boletos, entonces tus beneficios serán de 3x−10 pesos, o bien f(x)=3x−10, donde f es la función, y x representa al número al que se aplica la función

[edita] Álgebra abstracta

Artículo principal: Álgebra abstracta; ver también estructuras algebraicas

El Álgebra abstracta extiende los conceptos familiares que se encuentran en el álgebra elemental y en la aritmética a conceptos más generales.

Conjuntos: En aritmética y en álgebra elemental se consideran los distintos tipos de números, naturales, enteros, racionales y reales. En álgebra abstracta se da un gran salto en la generalización, y se consideran conjuntos cualesquiera, y no sólo esos conjuntos de números. Ello exige presentar (primero de forma ingenua, intuitiva, y luego formalmente) tal concepto de conjunto: una colección de objetos llamados elementos (la “definición” circular, por ser sinónimos conjunto y colección, es una transgresión tolerada, quizá por ser clásica; en realidad, se presenta el conjunto como un concepto de partida no definido, igual que ocurre con el punto en geometría). Todos los tipos de números antes citados son conjuntos, pero también lo son el conjunto de las tablas de 3x3 números (matrices de 3x3), el conjunto de todos los polinomios de grado 2 de coeficientes enteros (ax² + bx + c, para todo a,b,c entero), el conjunto de todos los vectores bidimensionales del plano, o el conjunto de los grupos finitos, como por ejemplo el grupo cíclico de los enteros módulo n, para cualquier natural n. Un tratamiento formal de los conjuntos requiere el estudio de la teoría de conjuntos, que es una disciplina de la lógica, y no estrictamente del álgebra.

Leyes de composición interna, también llamadas operaciones binarias. Las nociones bien conocidas de suma (+) o de multiplicación (×) también pueden generalizarse, para definir una operación matemática “cualquiera”, (*). En realidad, cualquier proceso o sistema que dados dos elementos a y b de un conjunto C garantice la existencia del elemento a*b en ese mismo conjunto C define una “ley de composición interna” * en C. Esta “garantía” de existencia de a*b se llama técnicamente cierre. Obsérvese que la resta no es una ley de composición interna en los números naturales (0,1,2,3,...), dado que por ejemplo 1-2 no existe en los naturales, incumpliendo la condición de cierre que ha de tener toda operación binaria. La suma de vectores o la de matrices son otros ejemplos de leyes de composición interna.

Elementos identidad: El número cero es el elemento identidad de la suma en los números naturales incluyendo el cero (0,1,2,...), puesto que para todo número a, a+0=a. El número uno lo es para la multiplicación en los naturales excluído el cero (1,2,3,...), dado que para todo número a, a x 1 = a. En esos números naturales excluído el cero no existe elemento identidad para la suma. Esa característica de existencia de un elemento “neutro” para una operación binaria, al que se llama elemento identidad, puede también generalizarse. Si en un conjunto C dotado de una operación * ocurre que existe un elemento e de C tal que para todo a elemento de C a*e=e*a=a, entonces se dice que e es elemento identidad del magma (C,*).

Elementos inversos: Los números negativos dan lugar al concepto de elemento inverso. Para la suma, el inverso de a es −a, y para la multiplicación, el inverso de a es (¡con a distinta de cero!). En general, aⁱ es el inverso de a en el magma (C,*) si a*aⁱ =aⁱ*a = e, siendo e el elemento identidad de (C,*).

Asociatividad: La suma de números enteros tiene una propiedad llamada asociatividad, que consiste en que la forma de agrupar los números que vayan a ser sumados no afecta a la suma. Por ejemplo, (2+3)+4=2+(3+4). En general, para un conjunto C cualquiera dotado de una operación binaria * cualquiera, el sistema, magma, (C,*) es asociativo si y sólo si para cualesquiera a, b, c elementos de C siempre se cumple que (a * b) * c = a * (b * c). Casi todas las operaciones binarias son asociativas, pero obsérvese que ni la resta ni la división lo son.

Conmutatividad: La suma de enteros tiene también una propiedad llamada conmutatividad, que establece que el orden de los sumandos no altera la suma. Por ejemplo, 2+3=3+2. En álgebra abstracta se generaliza la propiedad. Un magma (C,*) es conmutativo si para cualesquiera a, b, elementos de C siempre ocurre que a * b = b * a. La conmutatividad, que como es sabido se cumple para la suma y la multiplicación de enteros, no es tan frecuente como la asociatividad: abundan las estructuras que no la cumplen; un ejemplo es la multiplicación de matrices.

[edita] Grupos

Artículo principal: grupo; o, con mayor profundidad: teoría de grupos

De la combinación de los conceptos anteriores surge una de las estructuras más importantes de la matemática: el grupo. Un grupo consiste de:

• Un conjunto C de elementos
• Una ley de composición interna u operación binaria (*) (cerrada en C, puesto que si no lo fuera no sería ley de composición interna).
• Existe un elemento identidad (y sólo uno, pero esto no es un axioma, puede demostrarse)
• Todo elemento de C tiene elemento inverso
• La operación * es asociativa en C.

No se exige la conmutatividad para otorgar el título de grupo, pero un grupo puede ser, además, conmutativo. A los que lo son se les denomina grupos abelianos, o más directamente (pero es poco frecuente) grupos conmutativos.

Por ejemplo, el conjunto de los enteros con la operación de suma es un grupo. En este grupo, el elemento identidad es el 0 y la inversa de cualquier elemento a es su negativo −a. El requisito de asociatividad se cumple, ya que para cualesquiera enteros a, b y c, (a+b) + c = a + (b+c).

Los números racionales distintos de cero forman un grupo con la multiplicación. En este caso el elemento identidad es 1, dado que 1 × a = a × 1 = a para cualquier número racional a. La inversa de a es 1/a, dado que a × 1 /a = 1.

Sin embargo, los enteros no forman un grupo si la operación elegida es la multiplicación. Esto ocurre porque, en general, el inverso multiplicativo de un entero no es necesariamente otro entero. Por ejemplo, 4 es un entero, pero su inverso multiplicativo sería en todo caso ¼, que no es un enero. Dicho en términos más formales, no existe inverso multiplicativo de 4 en el conjunto de los enteros, y sólo eso basta para demostrar que el magma de los enteros con la multiplicación no es un grupo.

Los semigrupos, los cuasigrupos y los monoides son estructuras similares al los grupos, pero más generales, en el sentido de que se les exigen menos propiedades. Todas ellas se componen de un conjunto y una operación binaria (por tanto, cerrada), es decir, todos ellos son magmas, pero no cumplen algunas de las condiciones que se exigen a los grupos.

Un semigrupo es un magma asociativo, pero puede carecer de identidad. Si la tiene, pero carece de inverso en todos sus elementos, se le llama monoide. Finalmente, un cuasigrupo es un magma que satisface la condición de que cualquiera de sus elementos puede ser transformado en cualquier otro sin más que operar con otro elemento por la izquierda o por la derecha (recuérdese que no tiene por qué ser conmutativo); en otras palabras, (C,*) es cuasigrupo si dados cualesquiera a y b de C, siempre existe un x de c tal que b=x*a y un y de c tal que b=a*y. Dicho de otra forma, un cuasigrupo es un magma en el que la división es siempre posible, porque x = b/a por la izquierda e y=b/a por la derecha.

La tabla siguiente muestra algunos conjuntos de números, indicando la estructura algebráica a la que responden para las operaciones habituales. Vemos, por ejemplo, que los enteros son un grupo abeliano con la suma: la operación es cerrada, asociativa y conmutativa; existe el elemento neutro o identidad, cero; para cada entero a existe su inverso −a. Sin embargo, para la multiplicación es sólo un monoide, puesto que aun siendo cerrado, asociativo y conmutativo, y tiene identidad (el 1), de modo que es un semigrupo, e incluso un monoide, pero no un grupo, al no tener todos sus componentes elemento inverso (no hay ningún entero que multiplicado por 2 devuelva 1). Los números racionales, con la resta (−) satisfacen el cierre, pero no la asociatividad ni la conmutatividad; sin embargo, hay elemento neutro “a la derecha” (el 0, porque a−0=a para todo a) y elemento inverso (dado cualquier a, a−a=0; todo elemento es su propio inverso). Sin embargo, dados cualesquiera dos enteros a y b, siempre es posible encontrar un x que transforme uno en el otro por la izquierda: a=x−b (vale con x=a+b) y por la derecha: a=b−y (vale con y=b−a). Luego cumple la condición de cuasigrupo.

[edita] Anillos y cuerpos o campos; estructuras con dos operaciones binarias

Artículos principales: anillo (matemática), cuerpo (matemática)

Los grupos, como hemos visto, sólo tienen una operación binaria. Pero para explicar completamente el comportamiento de los distintos tipos de números, necesitamos estructuras co dos operaciones, que incorporen propiedades que las relacionen. Los más importantes son los anillos y los cuerpos o campos. Y la propiedad que relaciona las dos operaciones es la distributividad.

La Distributividad es una generalización de la ley distributiva aplicable a los números, y establece el orden en que deben aplicarse los operadores (llamado a veces precedencia). Para los enteros (a + b) × c = a×c+ b×c y c × (a + b) = c×a + c×b y se dice que × es distributiva sobre +

En una estructura que tenga dos operaciones, * y Θ y en la que la operación * sea distributiva sobre la Θ suele decirse que * es la operación “multiplicativa” y Θ la operación “aditiva”. Además, para esta última suele usarse el signo + con preferencia a otros. Además, el elemento identidad de la operación aditiva suele designarse como 0.

Un anillo tiene dos operaciones binarias (+) y (×), con × distributiva sobre +. Con el primer operador, (+), forma un grupo abeliano y con el segundo operador, (×), es asociativa, pero no se le requiere que posea identidad, ni elementos inversos, de modo que no se prevé la división. El elemento identidad aditivo (el de la operación +) se escribe como 0, y el elemento inverso de un elemento a se escribe como −a.

El ejemplo más característico de anillo son los números enteros. En realidad, los enteros tienen propiedades adicionales que los convierten en un tipo especial de anillo, llamado dominio de integridad

Un cuerpo o campo (C,+,×) es un anillo con la propiedad adicional de que el conjunto (C–{0}, ×), es decir, el conjunto de todos los elementos menos el cero, dotado de la operación distributiva, forma un grupo abeliano. La identidad multiplicativa se escribe como 1, y el inverso multiplicativo de a se escribe como a^-1.

En español se utilizan como sinónimos cuerpo, derivada del francés Corps y campo, traducción directa del inglés Field. Cuerpo es de uso más frecuente en España, y campo en América.

Los números racionales, los números reales y los números complejos son todos ellos campos.

[edita] Álgebras

La palabra álgebra se utiliza también ―igual que grupo, anillo o campo― para designar diversas estructuras algebraicas

• Álgebra sobre un cuerpo
• Álgebra sobre un conjunto
• Álgebra booleana
• F-algebra y F-coalgebra en teoría de las categorías
• Sigma-álgebra

[edita] Historia

Los orígenes del álgebra se remontan a los antiguos babilonios, ^[1] que desarrollaron un avanzado sistema aritmético, con el que llegaron a ser capaces de realizar cálculos en modo algebraico. Su sistema les permitía, por ejemplo, aplicar fórmulas, y llegar a deducir el valor de las incógnitas de la clase de problemas que actualmente se resuelven utilizando ecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas y ecuaciones lineales indeterminadas. Esto contrasta con las prácticas de la mayoría de los matemáticos egipcios de aquella era, y con las de los indios, griegos y chinos del primer milenio antes de Cristo, que resolvían habitualmente tales problemas usando métodos geométricos, tales como los descritos en los papiros matemáticos del Rin y de Moscú, en el Sulba Sutras, en los Elementos de Euclides o en los nueve capítulos del arte matemático. El trabajo geométrico de los griegos, tipificado en los Elementos, aporta el marco para obtener fórmulas generales más allá de la solución de problemas particulares, obteniendo sistemas de planteamiento y resolución de ecuaciones.

La palabra álgebra procede del término árabe 'al-jabr', que a su vez forma parte del título del libro al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala La palabra 'al-jabr' se refiere a la reducción; durante mucho tiempo los especialistas en reducir fracturas de huesos fueron llamados algebristas. El libro fue escrito por el matemático persa Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī, de cuyo nombre, Al-Juarismi, proceden también las palabras guarismo y algoritmo .......

Otro evento clave en el desarrollo del álgebra fue la solución general algebráica de las ecuaciónes cúbicas y cuárticas, desarrollada a mediados del siglo XVI. La idea de determinante fue creada por el matemático japonés Kowa Seki en el s. XVII, y adoptada después por Gottfried Leibniz que la aplicó a la resolución de sistemas de ecuaciones simultáneas utilizando matrices. A Gabriel Cramer debemos también algunos avances relativos a matrices y determinantes, realizados en el siglo XVIII. El gran cambio que supuso el álgebra abstracta se gestó durante el siglo XIX, partiendo inicialmente de lo que hoy llamamos Teoría de Galois, relacionada con la irresolubilidad por radicales de las ecuaciones de grado mayor o igual que cinco; otro aspecto de las matemáticas que impulsó al álgebra abstracta fue el de los números construíbles,

Las etapas de desarrollo del álgebra elemental fueron, a grandes rasgos, las siguientes:

• El álgebra retórica, fase en la que los problemas se enuncian, desarrollan y resuelven mediante palabras del lenguaje. Así nació el álgebra en Babilonia, y así siguió hasta el siglo XVI. Logros como la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado por los matemáticos italianos del XVI se realizaron con métodos retóricos.
• El álgebra por construcción geométrica, predominante en la cultura védica y en las matemáticas de la Grecia clásica. Los problemas se expresan como figuras geométricas.
• El álgebra sincopada, desarrollada por Diofanto, y que se encuentra también en el manuscrito Bakhshali. En esta fase se abrevian las palabras con las que se enuncia, desarrolla y resuelve el problema, y se tiende a normalizar las abreviaturas, lo que nos acerca cada vez más a la notación simbólica.
• A partir del siglo XVI, y culminando con el gran trabajo de creación de simbología de Leibniz, el álgebra es ya simbólica: los problemas se representan mediante signos que representan las constantes, las variables y las operaciones.