Grup cíclic
De Viquipèdia
Un grup és cíclic si té un generador. Això vol dir que hi ha, almenys, un element g del grup, que es diu el generador de manera que tots els elements del grup són de la forma n g (en notació additiva) o gn (en notació multiplicativa), per un cert nombre enter n. Naturalment, 0 = 0 g i g = 1 g (en notació additiva) o 1 = g0 i g = g1 (en notació multiplicativa).
Taula de continguts |
[edita] Exemples
- L'exemple més obvi és el grup additiu de l'anell
dels nombres enters: es tracta d'un grup cíclic infinit i 1 i − 1 en són els únics generadors.
- També són cíclics tots grups additius dels anells
de classes d'equivalència mòdul n. En aquest cas es tracta de grups finits.
- En canvi, els grups multiplicatius de les unitats dels anells
són cíclics si, i només si, el nombre n és d'una d'aquestes quatre formes 2, 4, pk o 2pk. En la Teoria de nombres tradicional, els generadors dels grups multiplicatius de les unitats dels anells
es diuen arrels primitives (mod n).
- No cal dir que el grup trivial és cíclic.
[edita] Estructura
- El fet més important quant als grups cíclics és que qualsevol grup cíclic infinit és isomorf al grup aditiu de l'anell
dels nombres enters. A més, qualsevol grup cíclic finit d'ordre n és isomorf al grup aditiu de l'anell
de classes d'equivalència mòdul n.
- Això implica que l'estudi dels grups cíclics es redueix a l'estudi dels grups aditius
i
.
- D'altra banda, tot grup abelià finitament generat es isomorf al producte directe d'un nombre finit de grups cíclics.
[edita] Propietats
- De l'isomorfisme mencionat abans en resulta que tot grup cíclic és un grup abelià.
- Tot grup d'ordre un nombre primer és cíclic.
- Tots els subgrups d'un grup cíclic són cíclics. Si
és un grup cíclic d'ordre n, aleshores, per cada divisor d de n hi ha exactament un subgrup d'ordre d, el qual, si g és un generador de
, és generat per
.El grup
no té cap altre subgrup d'ordre d.
- Tot quocient d'un grup cíclic és cíclic.
- Sigui g és un generador d'un cert grup cíclic
d'ordre n. Aleshores gk també n'és un generador si, i només si, hi ha
que fa gkm = g. Aleshores
.
- Si
és un grup cíclic d'ordre n, aleshores té φ(n) generadors (φ és la funció Fi d'Euler).
- Siguin
i
dos grups d'ordres respectius n1 i n2. Aleshores,
és cíclic si, i només sí,
i
ho són i
.
- Tot subgrup finit del grup multiplicatiu d'un cos és cíclic.
[edita] Referències
Article cyclic group a PlanetMath.org.