Funció característica (teoria de la probabilitat)

De Viquipèdia

En teoria de la probabilitat, la funció característica d'una variable aleatòria real és una eina matemàtica que proporciona informació completa sobre la distribució de probabilitat de la variable aleatòria i sovint en facilita l'estudi. A més, amb les funcions característiques es disposa, gràcies al teorema de continuïtat de Lévy, d'un mètode senzill i potent per estudiar la convergència en distribució d'una successió de variables aleatòries.

Donada una variable aleatòria real $X : \Omega \to \mathbb{R}$ definida sobre un espai de probabilitat $(\Omega,\, \mathcal{B},\, \mathbb{P} )$ , la seva funció característica és la funció $\varphi_X : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ (és a dir de valors complexos) definida, per a tot real t, per la relació següent (on $i \in \mathbb{C}$ , $i 2 = - 1$ i $\operatorname{E}(\cdot)$ denota l'operador esperança) :

$\varphi_X(t) = \operatorname{E}\left(\mathrm{e}^{i\, t\, X}\right) = \operatorname{E}\left(\cos\, (t\, X)\right) + i\, \operatorname{E}\left(\sin\, (t\, X)\right)$

Taula de continguts

1 Expressions de la funció característica
- 1.1 Expressions integrals generals
- 1.2 Casos particulars importants
2 Propietats elementals
3 Exemples clàssics
4 Perquè la funció característica és anomenada així
- 4.1 Teorema d'inversió
- 4.2 Teorema d'unicitat
  - 4.2.1 Utilització pràctica
5 Funció característica de la suma de variables aleatòries independents
6 Funció característica i moments
7 Teorema de continuïtat de Lévy
8 Referències
9 Vegeu també
10 Enllaços externs

[edita] Expressions de la funció característica

[edita] Expressions integrals generals

Per definició de $\varphi_X$ :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \int_{\Omega} \mathrm{e}^{i\, t\, X}\, d\mathbb{P} = \int_{\Omega} \cos(t\, X)\, d\mathbb{P}\, +\, i\, \int_{\Omega} \sin(t\, X)\, d\mathbb{P}\;\;\,\qquad\qquad\qquad\quad (1)$

Denotant per $\mathbb{P}_X$ la distribució de probabilitat de la variable aleatòria X :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \int_{\mathbb{R}} \mathrm{e}^{i\, t\, x}\, d\mathbb{P}_X(x) = \int_{\mathbb{R}} \cos(t\, X)\, d\mathbb{P}_X(x)\, +\, i\, \int_{\mathbb{R}} \sin(t\, X)\, d\mathbb{P}_X(x) \qquad (2)$

(segons el teorema de la mesura imatge)

Remarques :

es tracta aquí d'integrals de Lebesgue ;

la definició (1) té sentit perquè per a tot real t, la variable aleatòria complexa

$\mathrm{e}^{i\, t\, X} = \cos\, (t\, X) + i\, \sin\, (t\, X)$

és fitada (té mòdul 1) i per tant és integrable respecte a la mesura de probabilitat $\mathbb{P}$ ;

l'equació (2) significa que la funció característica d'una variable aleatòria real X és la transformada de Fourier de la seva distribució de probabilitat $\mathbb{P}_X$ , mesura de probabilitat sobre l'espai mesurable (o probabilitzable) $(\mathbb{R},\, \mathcal{B}_{\mathbb{R}})$ , on $\mathcal{B}_{\mathbb{R}}$ és la sigma-àlgebra de Borel de $\mathbb{R}.$

[edita] Casos particulars importants

Quan X és discreta, amb valors $x k$ tals que per a tot k, $\mathbb{P}(X = x_k ) = p_k$ aleshores :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \sum_k \mathrm{e}^{i\, t\, x_k}\, p_k$

(suma finita o sèrie absolutament convergent)

Quan X és absolutament contínua, amb funció de densitat de probabilitat $f X$ aleshores :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{i\, t\, x}\, f_X(x)\, dx$

(integral de Lebesgue ; en els casos usuals coincideix amb la integral de Riemann)

[edita] Propietats elementals

La funció característica d'una variable aleatòria real X :

compleix la relació :

$\varphi_X(0) = 1$

és fitada :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, |\varphi_X(t)| \leq 1$

és uniformement contínua en $\mathbb{R}$

és hermítica :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(-t) = \overline{\varphi_X(t)}$ (on $\overline{z}$ és el conjugat del nombre complex z)

compleix la identitat :

$\forall\, a \in \mathbb{R},\, \forall\, b \in \mathbb{R},\, \forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_{a\,X + b\,}(t) = \mathrm{e}^{i\, b\, t}\, \varphi_X(a\, t)$

i en particular : $\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_{-X\,}(t) = \varphi_X(-t) = \overline{\varphi_X(t)}$ ;

per tant si

X

- X

tenen la mateixa distribució (dita simètrica), la funció $\varphi_X$ és parella amb valors reals

(la tercera propietat es dedueix del teorema de la convergència dominada ; les altres són immediates)

Demostració de la continuïtat uniforme

Per linealitat de l'esperança :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \forall\, h \in \mathbb{R}, \varphi_X(t + h) - \varphi_X(t) = \operatorname{E}\left(\mathrm{e}^{i\, (t + h)\, X} - \mathrm{e}^{i\, t\, X}\right) = \operatorname{E}\left(\mathrm{e}^{i\, t\, X} \left( \mathrm{e}^{i\, h\, X} - 1\right)\right)$

i per tant :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \forall\, h \in \mathbb{R}, \left|\varphi_X(t + h) - \varphi_X(t)\right| \leq \operatorname{E}\left(\left|\mathrm{e}^{i\, t\, X}\right|\,\cdot \left|\mathrm{e}^{i\, h\, X} - 1\right|\right)$ ;

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \forall\, h \in \mathbb{R}, \left|\varphi_X(t + h) - \varphi_X(t)\right| \leq \operatorname{E}\left(\left|\mathrm{e}^{i\, h\, X} - 1\right|\right)$ .

Ara bé :

$\forall\, \omega \in \Omega,\, \mathrm{e}^{i\, h\, X(\omega)} - 1 \to 0\text{ quan }h \to 0$

i a més $\forall\, h \in \mathbb{R},\, \left|\mathrm{e}^{i\, h\, X} - 1\right| \leq 2$

Aleshores pel teorema de convergència dominada (atès que la variable aleatòria constant amb valor 2 és integrable):

$\operatorname{E}\left(\left|\mathrm{e}^{i\, h\, X} - 1\right|\right) \to 0\text{ quan }h \to 0$ .

Com que la funció majorant tendeix cap a 0 i no depén de de t, això acaba la demostració.

[edita] Exemples clàssics

[edita] Distribució degenerada

Si la variable aleatòria X segueix la distribució degenerada de valor $μ$ (és a dir : $\mathbb{P}(X = \mu) = 1$ ; X és constant quasi segurament) aleshores :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \mathrm{e}^{i\, t\, \mu}$

[edita] Distribució binomial

Si la variable aleatòria X segueix la distribució binomial $\mathcal{B}(n,\, p)$ (on $n \in \mathbb{N},\, p \in [0,\, 1]$ ) aleshores :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \sum_{k = 0}^n \mathrm{e}^{i\, t\, k}\, {n \choose k}\, p^k\, (1 - p)^{n - k} = \sum_{k = 0}^n {n \choose k}\, \left(p\, \mathrm{e}^{i\, t}\right)^k\, (1 - p)^{n - k}$

d'on es dedueix (fórmula del binomi de Newton):

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \left(p\, \mathrm{e}^{i\, t} + 1 - p\right)^n$

[edita] Distribució de Bernoulli

En particular, si la variable aleatòria X segueix la distribució de Bernoulli $\mathcal{B}(1,\, p)$ (on $\ p \in [0,\, 1]$ ) aleshores :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = p\, \mathrm{e}^{i\, t} + 1 - p$

[edita] Distribució geomètrica

Si la variable aleatòria X segueix la distribució geomètrica $\mathcal{G}(p)$ (on $p \in\, ]0,\, 1[\,$ ) aleshores :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \sum_{k = 1}^{+\infty} \mathrm{e}^{i\, t\, k}\, p\, (1 - p)^{k - 1} = p\, \mathrm{e}^{i\, t}\, \sum_{k = 1}^{+\infty} \left[(1-p)\, \mathrm{e}^{i\, t}\right]^{k - 1} = \frac{p\, \mathrm{e}^{i\, t}}{1 - (1 - p)\, \mathrm{e}^{i\, t}}$

[edita] Distribució de Poisson

Si la variable aleatòria X segueix la distribució de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ (on $\lambda \in\, ]0,\, +\infty[\,$ ) aleshores :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \sum_{k = 0}^{+\infty} \mathrm{e}^{i\, t\, k}\, \mathrm{e}^{-\lambda}\, \frac{\lambda^k}{k\,!} = \mathrm{e}^{-\lambda}\, \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{\left(\lambda\, \mathrm{e}^{i\, t}\right)^k}{k\,!} = \mathrm{e}^{-\lambda}\, \mathrm{e}^{\lambda\, \mathrm{e}^{i\, t}} = \mathrm{e}^{\lambda\, \left(\mathrm{e}^{i\, t} - 1\right)}$

[edita] Distribució uniforme contínua

Si la variable aleatòria X segueix la distribució uniforme contínua $\mathcal{U}([a,\, b] )$ (on $\ a \in \mathbb{R},\, b \in \mathbb{R}$ i a < b) aleshores :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \int_a^b \mathrm{e}^{i\, t\, x}\, \frac{1}{b - a}\, dx = \frac{\mathrm{e}^{i\, t\, b} - \mathrm{e}^{i\, t\, a}}{i\, (b - a)\, t}$ si $t \neq 0$ , i $\varphi_X(0) = 1$ .

En particular, si X segueix la distribució $\mathcal{U}([-\alpha,\, +\alpha] )$ (on $\alpha \in\, ]0,\, +\infty[\,$ ) aleshores :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \frac{\sin(\alpha\, t)}{\alpha\, t}$ si $t \neq 0$ , i $\varphi_X(0) = 1$ .

[edita] Distribució exponencial

Si la variable aleatòria X segueix la distribució exponencial $\mathcal{E}(\lambda)$ (on $\lambda \in\, ]0,\, +\infty[\,$ ) aleshores :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{i\, t\, x}\, \lambda\, \mathrm{e}^{-\lambda\, x}\, dx = \lambda\, \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-(\lambda - i\, t)\, x}\, dx = \frac{\lambda}{\lambda - i\, t}$

[edita] Distribució normal estàndard

Si la variable aleatòria X segueix la distribució normal estàndard $\mathcal{N}(0,\, 1)$ aleshores :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{i\, t\, x}\, \frac{1}{\sqrt{2\, \pi}}\, \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}\, dx = \mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}}$

Prova

L'integrand és derivable respecte a t, i la funció $\mathbb{R} \to \mathbb{R},\, x \mapsto x\, \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}\,$ és integrable sobre $\mathbb{R}$ . Així, doncs, es pot derivar sota el signe integral ; la funció $\ \varphi_X$ és derivable i compleix la relació següent :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi'_X(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial}{\partial t}\left(\mathrm{e}^{i\, t\, x}\, \frac{1}{\sqrt{2\, \pi}}\, \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}\right)dx = \int_{-\infty}^{+\infty} i\, x\, \mathrm{e}^{i\, t\, x}\, \frac{1}{\sqrt{2\, \pi}}\, \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}\, dx$ ;

en integrar per parts :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi'_X(t) = - \int_{-\infty}^{+\infty} t\, \mathrm{e}^{i\, t\, x}\, \frac{1}{\sqrt{2\, \pi}}\, \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}\, dx = -t\, \varphi_X(t)$ .

Per tant, en resoldre aquesta equació diferencial :

$\exists\, C \in \mathbb{C},\, \forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = C\, \mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}}$

Per fi : $C = \varphi_X(0) = 1$ , Q.E.D.

(també es pot utilitzar el teorema de Cauchy per a funcions holomorfes)

[edita] Distribució de Cauchy simètrica

Si la variable aleatòria X segueix la distribució de Cauchy simètrica $\mathcal{C}(0,\, \gamma)$ (on $\gamma \in\, ]0,\, +\infty[\,$ ) aleshores :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{i\, t\, x}\, \frac{1}{\pi}\, \frac{\gamma}{x^2 + \gamma^2}\, dx = \mathrm{e}^{-\gamma\, |\,t\,|}$

Per demostrar-ho, es pot utilitzar el teorema dels residus (anàlisi complexa).

Prova

La funció $g : z \mapsto \frac{\mathrm{e}^{i\, t\, z}}{z^2 + \gamma^2}$ (d'una variable complexa) és holomorfa en l'obert $U = \mathbb{C} \setminus \{\gamma\, i,\, -\gamma\, i\}$ (els dos punts singulars $\gamma\, i,\, -\gamma\, i$ són pols simples de g).

Per a tot real R tal que R > 0, sigui el semidisc compacte

$\Delta_R = \{z \in \mathbb{C}\, /\, |\,z\,| \leq R,\, \mathrm{Im}(z) \geq 0\}$

la vora del qual és $[-R,\, +R] \cup \Gamma_R$ , on $Γ R$ és el semicercle $\Gamma_R = \{z \in \mathbb{C}\, /\, |\,z\,| = R,\, \mathrm{Im}(z) \geq 0\}$ .

Suposant $R > γ$ , el pol $\gamma\, i$ és l'únic punt singular de la funció g en $Δ R$ ; per tant, segons el teorema dels residus, si $R > γ$ :

$\int_{-R}^{+R} \frac{\mathrm{e}^{i\, t\, x}}{x^2 + \gamma^2}\, dx\, +\, i\, \int_{\Gamma_R} \frac{\mathrm{e}^{i\, t\, z}}{z^2 + \gamma^2}\, dz = 2\, \pi\, i\, \mathrm{Res}(g,\, \gamma\, i) = 2\, \pi\, i\, \frac{\mathrm{e}^{-\gamma\, t}}{2\, i\, \gamma} = \frac{\pi}{\gamma}\, \mathrm{e}^{-\gamma\, t}$ .

Si $t \geq 0$ , aleshores

$\int_{\Gamma_R} \frac{\mathrm{e}^{i\, t\, z}}{z^2 + \gamma^2}\, dz \to 0$ quan $R \to +\infty$ .

En efecte : si $t \geq 0$ i $\ R > \gamma$ ,

$\forall\, z \in \Gamma_R,\, \left|\mathrm{e}^{i\, t\, z}\right| = \mathrm{e}^{-t\, \mathrm{Im}(z)} \leq 1\text{ i } \left|z^2 + \gamma^2\right| \geq \left|\, |z|^2 - \gamma^2 \right| = R^2 - \gamma^2$ ,

i per tant, si $R > γ$ :

$\forall\, t \in \mathbb{R^+},\, \left| \int_{\Gamma_R} \frac{\mathrm{e}^{i\, t\, z}}{z^2 + \gamma^2}\, dz \right| \leq \pi\, R\, \sup_{z\, \in\, \Gamma_R} \frac{\left|\mathrm{e}^{i\, t\, z}\right|}{\left|z^2 + \gamma^2\right|} \leq \pi\, R\, \frac{1}{R^2 - \gamma^2}$ .

Per a tot real positiu t, passant al límit quan $R \to +\infty$ , s'obté :

$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{i\, t\, x}}{x^2 + \gamma^2}\, dx\, = \frac{\pi}{\gamma}\, \mathrm{e}^{-\gamma\, t}$ .

Altrament dit :

$\forall\, t \in \mathbb{R^+},\, \varphi_X(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{i\, t\, x}\, \frac{1}{\pi}\, \frac{\gamma}{x^2 + \gamma^2}\, dx = \mathrm{e}^{-\gamma\, t}$ .

Com que la distribució estudiada és simètrica, la funció $\varphi_X$ és parella, i se'n dedueix :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \mathrm{e}^{-\gamma\, |\,t\,|}$ , Q.E.D.

[edita] Aplicacions

[edita] Cas de la distribució normal general

Sigui una variable aleatòria X amb distribució normal $\mathcal{N}(\mu,\, \sigma^2)$ (on $\mu \in \mathbb{R}, \sigma \in\, ]0,\, +\infty[\,$ ). Aleshores :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \mathrm{e}^{i\, t\, \mu\, -\frac{\sigma^2\, t^2}{2}}$ .

Prova

En efecte, la variable aleatòria

$X^\ast = \frac{X - \mu}{\sigma}$

segueix la distribució normal estàndard $\mathcal{N}(0,\, 1)$ . Per tant (vegeu supra) :

$\forall\, u \in \mathbb{R},\, \varphi_{X^\ast}(u) = \mathrm{e}^{-\frac{u^2}{2}}$ .

Com que $X = \sigma\, X^\ast + \mu$ , se'n dedueix que :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \mathrm{e}^{i\, t\, \mu}\, \varphi_{X^\ast}(\sigma\, t) = \mathrm{e}^{i\, t\, \mu}\,\mathrm{e}^{-\frac{\sigma^2\, t^2}{2}} = \mathrm{e}^{i\, t\, \mu\, -\frac{\sigma^2\, t^2}{2}}$ .

[edita] Cas de la distribució de Cauchy general

Sigui una variable aleatòria X amb distribució de Cauchy $\mathcal{C}(m,\, \gamma)$ (on $m \in \mathbb{R}, \gamma \in\, ]0,\, +\infty[\,$ ). Aleshores :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \mathrm{e}^{i\, m\, t\, -\,\gamma\, |\,t\,|}$ .

Prova

En efecte la variable aleatòria

$\ Y = X - m$

segueix la distribució de Cauchy simètrica $\mathcal{C}(0,\, \gamma)$ . Per tant (vegeu supra) :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_Y(t) = \mathrm{e}^{-\gamma\, |\,t\,|}$ .

Com que $\ X = Y + m$ , se'n dedueix que :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_X(t) = \mathrm{e}^{i\, t\, m}\, \varphi_Y(t) = \mathrm{e}^{i\, t\, m}\, \mathrm{e}^{-\gamma\, |\,t\,|} = \mathrm{e}^{i\, m\, t\, -\,\gamma\, |\,t\,|}$ .

[edita] Perquè la funció característica és anomenada així

Com el seu nom ho indica, la funció característica d'una variable aleatòria (real) en caracteritza la distribució de probabilitat : dues variables aleatòries segueixen la mateixa distribució si i només si tenen la mateixa funció característica (és el teorema d'unicitat ; vegeu infra).

Per aquesta raó, la funció característica d'una variable aleatòria X també és anomenada funció característica de la distribució d'X. Per exemple, es pot parlar de la funció característica de la distribució normal.

[edita] Teorema d'inversió

Donada una variable aleatòria real X, es denota per $F X$ la seva funció de distribució. Per a tot parell $(a,\, b)$ de punts de continuïtat de $F X$ es compleix la relació següent :

$F_X(b) - F_X(a) = \lim_{\tau \to +\infty} \frac{1} {2\pi} \int_{-\tau}^{+\tau} \frac{\mathrm{e}^{-i\,t\, a} - \mathrm{e}^{-i\, t\, b}} {i\,t}\, \varphi_X(t)\, dt$

Això és una variant probabilista del teorema d'inversió de la transformació de Fourier.

[edita] Teorema d'unicitat

El teorema d'inversió permet reconstruir (almenys en teoria) la funció de distribució d'una variable aleatòria a partir de la seva funció característica. Una conseqüència és l'important teorema d'unicitat :

Dues variables aleatòries reals són idènticament distribuïdes si i només si tenen la mateixa funció característica.

Prova del teorema d'unicitat

Es recorda que les funcions de distribució són creixents, contínues per la dreta en tot punt de $\mathbb{R}$ , tendeixen a 0 en $-\infty$ i a 1 en $+\infty$ (però no són necessàriament contínues en $\mathbb{R}$ : en particular, les funcions de distribució de les variables aleatòries discretes no ho són).

El teorema de la mesura imatge (vegeu aquí la relació (2)) té com a conseqüència immediata que si dues variables aleatòries X i Y són idènticament distribuïdes (és a dir $\mathbb{P}_X = \mathbb{P}_Y$ ), aleshores $\varphi_X = \varphi_Y$ .

Recíprocament, siguin dues variables aleatòries X i Y tals que $\varphi_X = \varphi_Y$ . Aleshores, segons el teorema d'inversió, per a tot parell $(a,\, b)$ de punts de continuïtat de $F X$ i $F Y$ es compleix la relació següent :

$\ F_X(b) - F_X(a) = F_Y(b) - F_Y(a)$

Ara bé, les funcions $F X$ , $F Y$ són creixents, i per tant el conjunt dels punts de discontinuïtat de cadascuna és finit o numerable ; per consegüent :

existeix una successió $(a_n)_{n\,\in\,\mathbb{N}}$ de punts de continuïtat de $F X$ i $F Y$ tal que $a_n \to -\infty$ ;

per a tot real x existeix una successió $(b_m)_{m\,\in\,\mathbb{N}}$ de punts de continuïtat de $F X$ i $F Y$ que convergeix cap a x per la dreta.

Per a tot parell $(n,\, m)$ d'enters naturals :

$\ F_X(b_m) - F_X(a_n) = F_Y(b_m) - F_Y(a_n)$

Passant al límit quan $n \to +\infty$ , com que $\lim F_X(a_n) = 0\text{ i } \lim F_Y(a_n) = 0$ , se'n dedueix :

$\forall\, m \in \mathbb{N},\, F_X(b_m) = F_Y(b_m)$

Finalment, passant al límit quan $m \to +\infty$ , com que $x_m \to x$ per la dreta i que $F X$ , $F Y$ són contínues per la dreta en tot punt :

$\forall\, x \in \mathbb{R},\, F_X(x) = F_Y(x)$ ; altrament dit : $\ F_X = F_Y$ .

Se sap que la igualtat $\ F_X = F_Y$ implica que X i Y tenen la mateixa distribució ; això acaba la demostració.

[edita] Utilització pràctica

El més sovint, el teorema d'unicitat s'utilitza de la manera següent per determinar la distribució de probabilitat d'una variable aleatòria real X : es calcula la funció característica $\varphi_X$ i es reconeix la funció característica d'una distribució clàssica que és, per tant, la distribució de X (per exemple, vegeu infra la prova de l'estabilitat d'algunes distribucions de probabilitat).

[edita] Funció característica de la suma de variables aleatòries independents

[edita] Suma de dues variables aleatòries independents

Donades dues variables aleatòries reals independents X i Y (definides sobre el mateix espai de probabilitat), es compleix la relació següent :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_{X + Y}(t) = \varphi_X(t)\, \varphi_Y(t)$ .

En efecte,

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_{X + Y}(t) = \operatorname{E}\left(\mathrm{e}^{i\, t\, (X + Y)}\right) = \operatorname{E}\left(\mathrm{e}^{i\, t\, X}\, \mathrm{e}^{i\, t\, Y}\right)$ .

Atès que X i Y són independents, també ho són, per a tot real t, les variables aleatòries $\mathrm{e}^{i\, t\, X}$ i $\mathrm{e}^{i\, t\, Y}$ ; per tant :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_{X + Y}(t) = \operatorname{E}\left(\mathrm{e}^{i\, t\, X}\right) \operatorname{E}\left(\mathrm{e}^{i\, t\, Y}\right) = \varphi_X(t)\, \varphi_Y(t)$ .

Remarca : el recíproc és fals. Existeixen variables aleatòries no independents les funcions característiques de les quals compleixen aquesta relació. Heus aquí un exemple ben conegut : donada una variable aleatòria X amb distribució de Cauchy simètrica $\mathcal{C}(0,\, \gamma)$ :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_{X + X}(t) = \varphi_{2 X}(t) = \varphi_{X}(2\, t) = \mathrm{e}^{-2\, \gamma\, |\, t\, |} = \mathrm{e}^{-\gamma\, |\, t\, |}\, \mathrm{e}^{-\gamma\, |\, t\, |} = \varphi_X(t)\, \varphi_X(t)$

Però és clar que X i X no són independents.

[edita] Generalització

Donades n variables aleatòries reals independents $X_1,\, X_2,\, \dots, X_n$ (definides sobre el mateix espai de probabilitat), es compleix la relació següent :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_{X_1 +\, \cdots\, + X_n}(t) = \prod_{k = 1}^n\varphi_{X_k}(t)$

(per consegüent, el producte de funcions característiques també és una funció característica).

Se sap que la transformada de Fourier d'un producte de convolució és el producte ordinari de les transformades de Fourier.

Tenint en compte el teorema d'unicitat, la relació precedent s'interpreta així : si les variables aleatòries $X_1,\, X_2,\, \dots, X_n$ són independents, aleshores :

$\mathbb{P}_{X_1 +\, \cdots\, + X_n} = \mathbb{P}_{X_1} \star \cdots \star \mathbb{P}_{X_n}$ : la distribució de probabilitat de la suma és el producte de convolució de les distribucions dels termes.

Per determinar la distribució de la suma, els dos punts de vista (producte de convolució de les distribucions de probabilitat, producte ordinari de les funcions característiques) són matemàticament equivalents. Tanmateix, el mètode de les funcions característiques és generalment més simple d'utilitzar.

[edita] Aplicació : estabilitat d'algunes distribucions de probabilitat

Siguin n variables aleatòries reals independents $X_1,\, X_2,\, \dots, X_n$ .

si per a tot k, $X k$ segueix la distribució binomial $\mathcal{B}(m_k,\, p)$ , aleshores $X_1 +\cdots + X_n$ segueix la distribució binomial $\mathcal{B}(m_1 + \cdots + m_n,\, p)$

si per a tot k, $X k$ segueix la distribució de Poisson $\mathcal{P}(\lambda_k)$ , aleshores $X_1 +\cdots + X_n$ segueix la distribució de Poisson $\mathcal{P}(\lambda_1 + \cdots + \lambda_n)$

si per a tot k, $X k$ segueix la distribució normal $\mathcal{N}(\mu_k,\, \sigma_k^2)$ , aleshores $X_1 +\cdots + X_n$ segueix la distribució normal $\mathcal{N}(\mu_1 + \cdots + \mu_n,\, \sigma_1^2 + \cdots + \sigma_n^2)$

si per a tot k, $X k$ segueix la distribució de Cauchy $\mathcal{C}(m_k,\, \gamma_k)$ , aleshores $X_1 +\cdots + X_n$ segueix la distribució de Cauchy $\mathcal{C}(m_1 + \cdots + m_n,\, \gamma_1 + \cdots + \gamma_n)$

Prova de l'estabilitat

Provem (per exemple) la segona afirmació (la prova de les altres és anàloga):

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_{X_1 +\, \cdots\, + X_n}(t) = \prod_{k = 1}^n\varphi_{X_k}(t) = \prod_{k = 1}^n \mathrm{e}^{\lambda_k\, \left(\mathrm{e}^{i\, t} - 1\right)} = \mathrm{e}^{\lambda\, \left(\mathrm{e}^{i\, t} - 1\right)}$

on $\lambda = \lambda_1 + \cdots + \lambda_n$ .

Es reconeix la funció característica de la distribució de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ ; segons el teorema d'unicitat, la variable aleatòria $X_1 +\, \cdots\, + X_n$ segueix aquesta distribució.

[edita] Funció característica i moments

Sigui una variable aleatòria real X.

[edita] Teorema directe

Si el moment d'ordre m de X existeix (finit), aleshores :

la funció característica $\varphi_X$ és de classe $\operatorname{C}^m$ en $\mathbb{R}$

$\forall\, k \in \{0, \dots, m\},\, \operatorname{E}\left(X^k\right) = (-i)^k\, \varphi_X^{(k)}(0)$ , i per tant :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\,\varphi_X(t) = \left(\sum_{k = 0}^m \frac{i^k\, \operatorname{E}(X^k)}{k\,!}\, t^k\right) + t^m\, \varepsilon_m(t)$ , on $\varepsilon_m(t) \to 0\text{ quan }t\to 0$ .

[edita] Recíproc (parcial)

Si $\varphi_X$ és m vegades derivable en el punt 0, aleshores :

per a tot natural k tal que $\ 2\, k \leq m$ el moment d'ordre k de X existeix i :

$\operatorname{E}\left(X^k\right) = (-i)^k\, \varphi_X^{(k)}(0)$

En particular, si $\varphi_X$ és infinitament derivable en el punt 0, aleshores tots els moments de X existeixen.

[edita] Exemple

Si la variable aleatòria X segueix la distribució de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ , la seva funció característica és infinitament derivable en $\mathbb{R}$ : tots els moments de X existeixen. Es comprova fàcilment que :

$\varphi'_X(0) = \lambda\, i\text{ ; }\varphi''_X(0) = -\lambda - \lambda^2$ .

Per tant :

$\operatorname{E}(X) = -i\, \varphi'_X(0) = \lambda$ , $\operatorname{E}(X^2) = -\varphi''_X(0) = \lambda + \lambda^2$ , i $\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}(X^2) - \left[\operatorname{E}(X)\right]^2 = \lambda$

(també es poden calcular directament com a sumes de sèries convergents).

[edita] Teorema de continuïtat de Lévy

Aquest teorema permet estudiar la convergència en distribució de les successions de variables aleatòries per mitjà de la convergència puntual de les seves funcions característiques.

[edita] Enunciat

Una successió $\left(X_n\right)_{n\, \in\, \mathbb{N}}$ de variables aleatòries reals convergeix en distribució cap a una variable aleatòria real X si i només si :

$\forall\, t \in \mathbb{R}, \varphi_{X_n}(t) \to \varphi(t)$ quan $n \to +\infty$ , on

$\varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ és una funció contínua en el punt 0.

En aquest cas, $\varphi$ és la funció característica de X.

[edita] Versió més simple

Una successió $\left(X_n\right)_{n\, \in\, \mathbb{N}}$ de variables aleatòries reals convergeix en distribució cap a una variable aleatòria real X si i només si :

$\forall\, t \in \mathbb{R}, \varphi_{X_n}(t) \to \varphi_X(t)$ quan $n \to +\infty$ .

La segona versió exigeix que sigui coneguda per endavant la distribució límit.

[edita] Utilitzacions

Heus aquí unes quantes aplicacions clàssiques del teorema de continuïtat de Lévy.

[edita] Teorema del límit central

Una aplicació clàssica del teorema de continuïtat de Lévy és la prova del teorema del límit central.

[edita] Teorema de convergència de Poisson

Una segona aplicació clàssica és la prova del teorema de convergència de Poisson :

Sigui una successió real $\left(\lambda_n\right)_{n\, \in\, \mathbb{N}^\ast}$ tal que $\lim_{n \to +\infty}\lambda_n = \lambda$ (on $\ \lambda > 0$ ) i per a tot n, $0 \leq \lambda_n \leq n$ .

Si per a tot n, la variable aleatòria

X n

segueix la distribució binomial $\mathcal{B}\left(n,\, \frac{\lambda_n}{n}\right)$ , aleshores la successió $\left(X_n\right)_{n\, \in\, \mathbb{N}^\ast}$ convergeix en distribució cap a una variable aleatòria X amb distribució $\mathcal{P}(\lambda)$ .

Prova

En efecte :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \forall n \in \mathbb{N}^\ast,\, \varphi_{X_n}(t) = \left(\frac{\lambda_n}{n}\, \mathrm{e}^{i\, t} + 1 - \frac{\lambda_n}{n}\right)^n = \left(1 + \frac{u_n}{n}\right)^n$ , on

$u_n = \lambda_n\, \left(\mathrm{e}^{i\, t} - 1\right) \to \lambda\, \left(\mathrm{e}^{i\, t} - 1\right)$ quan $n \to +\infty$ ; per tant :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_{X_n}(t) \to \mathrm{e}^{\lambda\, \left(\mathrm{e}^{i\, t} - 1\right)} = \varphi_X(t)$ quan $n \to +\infty$ ;

tenint en compte el teorema de continuïtat de Lévy, això acaba la prova.

[edita] Llei feble dels grans nombres

Una tercera aplicació clàssica és la prova de la llei feble dels grans nombres per a variables aleatòries integrables (és a dir amb esperança finita) i independents. S'enuncia així :

Donada una successió $(X_n)_{\,n\, \in\, \mathbb{N}^\ast}$ de variables aleatòries reals (definides sobre el mateix espai de probabilitat) independents i idènticament distribuïdes (abreujadament i.i.d), amb esperança finita, es posa : $\mu = \operatorname{E}(X_n)$ .

Si es defineix per a tot n :

$\overline{X_n} = \frac{X_1 + \cdots + X_n}{n} = \frac{S_n}{n}$ , on $S_n = X_1 + \cdots + X_n$ ,

aleshores la successió $\Big(\overline{X_n}\Big)_{\,n\, \in\, \mathbb{N}^\ast}$ convergeix en distribució cap a la constant

μ

Prova

En efecte :

les variables aleatòries $X_1,\, X_2,\, \dots$ tenen la mateixa funció característica que denotem per $\varphi$ (sense índex). Com que per a tot n, $\operatorname{E}(X_n) = \mu$ (moment d'ordre 1) existeix :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi(t) = 1 + i\, \mu\, t + t\, \varepsilon_1(t)$ , on $\varepsilon_1(t) \to 0$ quan $\ t \to 0$ .

Per independència :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \forall\, n \in \mathbb{N}^\ast,\, \varphi_{S_n}(t) = \prod_{k = 1}^n \varphi(t) = \left[\varphi(t)\right]^n$ .

Aleshores :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \forall\, n \in \mathbb{N}^\ast,\, \varphi_{\; \overline{X}_n}(t) = \varphi_{\frac{S_n}{n}}(t) = \varphi_{S_n}\left(\frac{t}{n}\right) = \left[\varphi\left(\frac{t}{n}\right)\right]^n$ ,

altrament dit :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \forall\, n \in \mathbb{N}^\ast,\, \varphi_{\; \overline{X}_n}(t) = \left[1 + i\, \frac{\mu\, t}{n} + \frac{t}{n}\, \varepsilon_1\left(\frac{t}{n}\right)\right]^n$

i se'n dedueix :

$\forall\, t \in \mathbb{R},\, \varphi_{\;\overline{X}_n}(t) \to \psi(t) = \mathrm{e}^{i\, \mu\, t}$ quan $n \to +\infty$ .

La funció $\psi : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ és la funció característica de la variable aleatòria constant amb valor

μ

; això acaba la prova si es té en compte el teorema de continuïtat de Lévy.

Remarca : se sap que la convergència en distribució cap a una constant equival a la convergència en probabilitat cap a la mateixa constant.

[edita] Referències

(anglès) Lukacs (Eugen) — Characteristic Functions. Griffin, London, 1960 (primera edició) ; 1970 (segona edició revisada i ampliada).

(alemany) (francès) Rényi (Alfred) — Wahrscheinlichkeitsrechnung, mit einem Anhang über Informations-theorie. — V. E. B. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1962. Traducció al francès : Calcul des probabilités avec un appendice sur la théorie de l'information. Dunod, Paris, 1966.

(anglès) Feller (William) — An Introduction to Probability Theory and Its Applications. (vol. 2) — John Wiley & Sons, New York, 1971.

[edita] Vegeu també

Convergència en distribució
Convolució
Funció generatriu dels moments
Moments
Transformació de Fourier

[edita] Enllaços externs

(anglès) A Brief History of Characteristic Functions

Categories: Probabilitat | Teoremes

Funció característica (teoria de la probabilitat)

De Viquipèdia

Taula de continguts

[edita] Expressions de la funció característica

[edita] Expressions integrals generals

[edita] Casos particulars importants

[edita] Propietats elementals

[edita] Exemples clàssics

[edita] Distribució degenerada

[edita] Distribució binomial

[edita] Distribució de Bernoulli

[edita] Distribució geomètrica

[edita] Distribució de Poisson

[edita] Distribució uniforme contínua

[edita] Distribució exponencial

[edita] Distribució normal estàndard

[edita] Distribució de Cauchy simètrica

[edita] Aplicacions

[edita] Cas de la distribució normal general

[edita] Cas de la distribució de Cauchy general

[edita] Perquè la funció característica és anomenada així

[edita] Teorema d'inversió

[edita] Teorema d'unicitat

[edita] Utilització pràctica

[edita] Funció característica de la suma de variables aleatòries independents

[edita] Suma de dues variables aleatòries independents

[edita] Generalització

[edita] Aplicació : estabilitat d'algunes distribucions de probabilitat

[edita] Funció característica i moments

[edita] Teorema directe

[edita] Recíproc (parcial)

[edita] Exemple

[edita] Teorema de continuïtat de Lévy

[edita] Enunciat

[edita] Versió més simple

[edita] Utilitzacions

[edita] Teorema del límit central

[edita] Teorema de convergència de Poisson

[edita] Llei feble dels grans nombres

[edita] Referències

[edita] Vegeu també

[edita] Enllaços externs

Views

Navegació

comunitat

Cerca

En altres llengües