Esperança matemàtica

De Viquipèdia

Dins la teoria de la probabilitat l'esperança matemàtica (o esperança, o mitjana poblacional) d'una variable aleatòria discreta és la suma de la probabilitat de cada possible esdeveniment multiplicat pel valor de l'esmentat esdeveniment. Per tant, representa la quantitat mitjana que un "espera" com a resultat d'un experiment aleatori quan la probabilitat de cada esdeveniment es manté constant i l'experiment es repeteix un elevat nombre de vegades. Val a dir que el valor que pren l'esperança matemàtica en alguns casos pot no ser "esperat" en el sentit més general de la paraula - el valor de l'esperança pot ser improbable o fins i tot impossible.

Per exemple, el valor esperat quan llencem un dau equilibrat de 6 cares és 3.5. Podem fer el càlcul

$\begin{align} \operatorname{E}(X)& = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6}\\[6pt] & = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3.5, \end{align}$

i cal destacar que 3.5 no és un valor possible al rodar el dau.

Una aplicació comú de l'esperança matemàtica és en les apostes o els joc d'atzar. Per exemple, la ruleta americana té 38 caselles equiprobables. El guany per encertar una aposta a un sol número paga de 35 a 1 (és a dir, cobrem 35 vegades el que hem apostat i recuperem l'aposta, així que rebem 36 vegades el que hem apostat). Per tant, considerant els 38 possibles resultats, l'esperança matemàtica del benefici per apostar a un sol número és:

$\left( -1 \times \frac{37}{38} \right) + \left( 35 \times \frac{1}{38} \right),$

que és −0.0526 aproximadament. Per tant un espera, en mitjana, perdre uns 5 cèntims per cada euro que aposta, i el valor esperat per apostar 1 euro són 0.9474 euros. En el món de les apostes, un joc on el benefici esperat és zero (no guanyem ni perdem) s'anomena un "joc just".

[edita] Definició matemàtica

En general, si $X\,$ és una variable aleatòria definida en un espai de probabilitat $(\Omega, \Sigma, P)\,$ i integrable respecte a la mesura de probabilitat P, aleshores l'esperança matemàtica de $X\,$ (denotada $\operatorname{E}(X)\,$ o de vegades $\langle X \rangle$ o $\mathbb{E}(X)$ ) es defineix com a

$\operatorname{E}(X) = \int_\Omega X\, \operatorname{d}P$

on la integral és una integral de Lebesgue respecte a la mesura de probabilitat P. Cal tenir en compte que no totes les variables aleatòries són integrables: no totes tenen l'esperança matemàtica definida (per exemple, la distribució de Cauchy). Dues variables amb la mateixa distribució de probabilitat tenen el mateix valor esperat, si aquest està definit.

Si $X$ és una variable aleatòria discreta, com en l'exemple de la ruleta esmentat anteriorment, la integral es calcula d'acord amb la següent fòrmula:

$\operatorname{E}(X) = \sum_i p_i x_i\,$

Si $X$ és una variable aleatòria contínua, és a dir que té una funció de densitat de probabilitat $f (x)$ , aleshores la integral pot calcular-se d'acord amb la següent fòrmula:

$\operatorname{E}(X) = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\, \operatorname{d}x .$

Una conseqüència directa de la definició pel cas discret es que si $X$ és una variable aleatòria constant, és a dir $X = b$ per algún nombre real fixe $b$ , aleshores l'esperança matemàtica de $X$ és $b$ .

L'esperança matemàtica d'una funció qualsevol de X, diguem g(X), es calcula

$\operatorname{E}(X) = \sum_i p_i g(x_i)\,$

en el cas discret i

$\operatorname{E}(g(X)) = \int_{-\infty}^\infty g(x) f(x)\, \operatorname{d}x$

en el cas continu.

[edita] Propietats

[edita] Constants

El valor esperat d'una constant és igual a la mateixa constant, és a dir, si c és una constant, E(c) = c

[edita] Monotonicitat

Si X i Y són variables aleatòries tals que $X \le Y$ de forma quasi segura, aleshores $\operatorname{E}(X) \le \operatorname{E}(Y)$ .

[edita] Linearitat

L'esperança matemàtica $\operatorname{E}$ és un operador lineal:

$\operatorname{E}(X + c)= \operatorname{E}(X) + c\,$

$\operatorname{E}(X + Y)= \operatorname{E}(X) + \operatorname{E}(Y)\,$

$\operatorname{E}(aX)= a \operatorname{E}(X)\,$

Combinant els resultats de les tres equacions prècies, veiem que:

$\operatorname{E}(aX + b)= a \operatorname{E}(X) + b\,$

$\operatorname{E}(a X + b Y) = a \operatorname{E}(X) + b \operatorname{E}(Y)\,$

per dues variables aleatòries $X$ i $Y$ qualsevol (que han d'haver estat definides en el mateix espai de probabilitat) i nombres reals $a$ i $b$ qualssevol.

[edita] Esperança iterada

[edita] Esperança iterada per variables aleatòries discretes

Per a dues variables aleatòries discretes $X, Y$ definim l'esperança condicional:

$\operatorname{E}(X|Y)(y) = \operatorname{E}(X|Y=y) = \sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(X=x|Y=y).$

on $\operatorname{P}(X=x|Y=y).$ és la probabilitat de l'esdeveniment $X = x$ condicional a $Y = y$ . Per tant, $\operatorname{E}(X|Y)$ és una funció de $y$ .

L'esperança de $X$ satisfà

$\operatorname{E} \left( \operatorname{E}(X|Y) \right)= \sum\limits_y \operatorname{E}(X|Y=y) \cdot \operatorname{P}(Y=y) \,$

$=\sum\limits_y \left( \sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(X=x|Y=y) \right) \cdot \operatorname{P}(Y=y)\,$

$=\sum\limits_y \sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(X=x|Y=y) \cdot \operatorname{P}(Y=y)\,$

$=\sum\limits_y \sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(Y=y|X=x) \cdot \operatorname{P}(X=x) \,$

$=\sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(X=x) \cdot \left( \sum\limits_y \operatorname{P}(Y=y|X=x) \right) \,$

$=\sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(X=x) \,$

$=\operatorname{E}(X).\,$

Per tant, arribem a la següent equació:

$\operatorname{E}(X) = \operatorname{E} \left( \operatorname{E}(X|Y) \right).$

La part dreta de l'equació s'anomena esperança iterada. Aquesta proposició també es coneix com a llei de l'esperança total.

[edita] Esperança iterada per a variables aleatòries qualssevol

Per a variables aleatòries contínues, el resultat és completament analog. La definició d'esperança condicional empra funcions de densitat de probabilitat i les sumes esdevenen integrals (respecte la mesura de Lebesgue). El resultat principal continua essent vàlid:

$\operatorname{E}(X) = \operatorname{E} \left( \operatorname{E}(X|Y) \right).$

La llei de l'esperança iterada és vàlida també per variables aleatòries amb una distribució qualssevol, per exemple variables que segueixen una mixtura de variables contínues i discretes. En lloc d'emprar integrals respected la mesura de Lebesque, la integral es pren respecte la llei de probabilitat de $X$ condicional a $Y$ (veure teorema de Bayes).

[edita] Desigualtat

Si la variable X sempre és menor que la variable Y (és a dir, $X \leq Y$ de forma quasi segura o amb probabilitat 1), l'esperança d'X és menor que la d'Y:

Si $X \leq Y$ , aleshores $\operatorname{E}(X) \leq \operatorname{E}(Y)$ .

En particular, tenint en compte que $X \leq |X|$ i que $-X \leq |X|$ , el valor absolut de l'esperança matemàtica d'una variable aleatòria és menor o igual a l'esperança del seu valor absolut: