Valore atteso

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In teoria della probabilità, il valore atteso (chiamato anche aspettazione, attesa, media o speranza matematica) di una variabile casuale reale $X$ , è un numero $\mathbb{E}[X]$ che formalizza l'idea euristica di valore medio di un fenomeno aleatorio. Ad esempio, schematizziamo matematicamente il gioco dei dadi rappresentandolo con una variabile casuale che possa assumere i valori $1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5,\, 6$ , ciascuno con probabilità $1 / 6$ . Intuitivamente, la media di questa variabile casuale sarà $3.5$ , dal momento che $\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5$ .

Un esempio semplice ed intuitivo: in un testa o croce, se esce testa si vince 100 se esce croce 0. Il valore atteso del gioco è 50, ovvero la media delle vincite e perdite pesata in base alle probabilità (50% per entrambi i casi): 100*0,5 + 0*0,5= 50, cioè il valore di "testa" per la sua probabilità e il valore di "croce" per la sua probabilità.

In generale il valore atteso di una variabile casuale discreta (che assuma cioè solo un numero finito o una infinità numerabile di valori) è dato dalla somma dei possibili valori di tale variabile, ciascuno moltiplicato per la probabilità di essere assunto (ossia di verificarsi).

[modifica] Esempi elementari

[modifica] Il gioco del lotto

Nel gioco del lotto vengono estratti 5 numeri tra 1 e 90, ed un giocatore può puntare una certa posta sul verificarsi di vari eventi. Calcoliamo il valore atteso del ricavo di uno scommettitore che punti 10 euro sulle cinque possibili giocate:
- numero secco (si punta sull'uscita di un determinato numero; la vincita paga circa 11 volte la posta): la probabilità che il giocatore vinca è data dal rapporto da 5/90 (rapporto tra i numeri vincenti e tutti i numeri che possono essere estratti), ed in tal caso il giocatore vincerà $11 * 10 - 10 = 100$ euro; la probabilità di perdita è 85/90, ed in tal caso il giocatore perderà i 10 euro di puntata. Il ricavo medio sarà quindi $\frac{5}{90}*100 - \frac{85}{90}*10=-\frac{35}{9} \simeq -3.89$ . Ossia, in media il giocatore perderà $3.89$ euro per ogni 10 euro giocati.
- ambo (si punta sull'uscita di un determinata coppia di numeri; la vincita paga 250 volte la posta): vi sono ${90 \choose 2}=4005$ possibili coppie di numeri. Poiché sulla ruota vengono estratti 5 numeri, gli ambi estratti sono ${5 \choose 2}=10$ e pertanto il giocatore vincerà con probabilità 10/4005 , ed in tal caso egli guadagnerà $250 * 10 - 10 = 2490$ euro; la probabilità di perdita è 3995/4005, ed in tal caso il giocatore perderà i 10 euro di puntata. Il ricavo medio sarà quindi $\frac{10}{4005}*2490 - \frac{3995}{4005}*10 \simeq -3.76$ . Ossia, in media il giocatore perderà $3.76$ euro per ogni 10 euro giocati.
- terno (si punta sull'uscita di un determinata terna di numeri; la vincita paga 4500 volte la posta): Ci sono 117480 possibili terne distinte di numeri.
- quaterna (si punta sull'uscita di un determinata quaterna di numeri; la vincita paga 120000 volte la posta): Ci sono 2555190 possibili quaterne distinte di numeri.
- cinquina (si punta sull'uscita di un determinata cinquina di numeri; la vincita paga 6 milioni di volte la posta): Ci sono 43949268 possibili cinquine distinte di numeri.

[modifica] Calcolare il valore atteso di variabili aleatorie discrete

Nel caso di variabile casuale discreta, può essere calcolata pure come:

$\ \mathbb{E}[X] = \sum_{i=1}^{\infty} x_{i} P(x_{i}) < \infty$

[modifica] Calcolare il valore atteso di variabili aleatorie assolutamente continue

Nel caso di variabile casuale continua che ammetta densità f(x) il calcolo diventa:

$\ \mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty}x f(x) dx < \infty$

[modifica] La legge dei grandi numeri

Per approfondire, vedi la voce Legge dei grandi numeri.

[modifica] Definizione matematica

Sia $(\Omega,\mathfrak{F},\mathbb{P})$ uno spazio di probabilità, ed $X$ una variabile aleatoria a valori reali su tale spazio (ossia una funzione misurabile $X:\Omega \mapsto \mathbb{R}$ , dove i numeri si intedono equipaggiati con la loro σ-algebra boreliana). Il valore atteso di $X$ è semplicemente l'integrale di $X$ rispetto alla misura di probabilità $\mathbb{P}$ :