La distribution Chi-squared

Saviez-vous ...

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chi carr??
Densit?? de probabilit??
Fonction de distribution cumulative
Param??tres	$k> 0 \,$ degr??s de libert??
Soutien	$x \ in [0; + \ Infty) \,$
PDF	$\ Frac {(1/2) ^ {k / 2}} {\ Gamma (k / 2)} x ^ {k / 2-1} e ^ {- x / 2} \,$
CDF	$\ Frac {\ gamma (k / 2, x / 2)} {\ Gamma (k / 2)} \,$
Signifier	$k \,$
M??diane	environ $k-2/3 \,$
Mode	$k-2 \,$ si $k \ geq 2 \,$
Variance	$2 \, k \,$
Asym??trie	$\ Sqrt {8 / k} \,$
Ex. aplatissement	$12 / k \,$
Entropy	$\ Frac {k} {2} \ + \ \ ln (2 \ Gamma (k / 2)) \ + \ (1 \ -! \ K / 2)!!!! \ Psi (k / 2)$
MGF	$(1-2 \, t) ^ {- k / 2}$ pour $2 \, t <1 \,$
FC	$(1-2 \, i \, t) ^ {- k / 2} \,$

Dans la th??orie des probabilit??s et des statistiques , la distribution du chi carr?? (aussi chi carr?? ou $\ Chi ^ 2$ distribution) est l'un des plus largement utilis??s th??oriques des distributions de probabilit?? en inf??rence statistique, par exemple, dans tests de signification statistique. Il est utile parce que, sous des hypoth??ses raisonnables, les quantit??s calcul??es peuvent ??tre facilement prouv?? qu'ils ont des distributions qui approximatives ?? la distribution du chi carr?? si le hypoth??se nulle est vraie.

Si $X_i$ sont k , ind??pendants normalement distribu??s variables al??atoires moyenne 0 et de variance 1, alors la variable al??atoire

$Q = \ sum_ {i = 1} ^ k ^ 2 X_i$

est distribu??e selon la distribution du chi carr??. Ce est g??n??ralement ??crite

$Q \ sim \ chi ^ 2_k. \,$

La distribution du chi carr?? a un param??tre: $k$ - Un nombre entier positif qui sp??cifie le nombre de degr??s de libert?? (ce est ?? dire le nombre de $X_i$ )

La distribution du chi carr?? est un cas particulier de la la distribution gamma.

Les situations les plus connus dans lesquels la distribution du chi carr?? sont utilis??s sont la commune des tests chi-carr??s pour qualit?? de l'ajustement d'une distribution observ??e ?? un th??orique, et de la ind??pendance des deux crit??res de classification des donn??es qualitatives. Cependant, de nombreux autres tests statistiques conduisent ?? une utilisation de cette distribution. Un exemple est L'analyse de Friedman de la variance par rangs.

Caract??ristiques

Densit?? de probabilit??

Un fonction de densit?? de probabilit?? de la distribution du chi carr?? est

$f (x; k) = \ begin {cas} \ displaystyle \ frac {1} {2 ^ {k / 2} \ Gamma (k / 2)} \, x ^ {(k / 2) - 1} e ^ {-x / 2} & \ text {for} x> 0, 0 \\ & \ text {for} x \ le0, \ end {} cas$

o?? $\ Gamma$ d??signe le Fonction Gamma, qui prend valeurs particuli??res aux demi-entiers.

Fonction de distribution cumulative

Son fonction de distribution cumulative est la suivante:

$F (x; k) = \ frac {\ gamma (k / 2, x / 2)} {\ Gamma (k / 2)} = P (k / 2, x / 2)$

o?? $\ Gamma (k, z)$ est le fonctions inf??rieur incompl??te Gamma et $P (k, z)$ est le fonction Gamma r??gularis??e.

Tables de cette distribution - souvent dans sa forme cumulative - sont largement disponibles et la fonction est inclus dans de nombreux des feuilles de calcul et tous les progiciels statistiques.

Fonction caract??ristique

Le fonction caract??ristique de la distribution chi carr?? est

$\ Chi. (T; k) = (1-2it) ^ {- k / 2} \,$

Propri??t??s

La distribution du chi carr?? a de nombreuses applications en inf??rence statistique , par exemple dans des tests chi-carr??s et ?? l'estimation des ??carts . Il entre dans le probl??me de l'estimation de la moyenne d'une population distribu??e normalement et le probl??me de l'estimation de la pente d'une r??gression ligne via son r??le dans la distribution t de Student . Il entre tout analyse des probl??mes de la variance par son r??le dans le F-distribution, qui est la distribution du rapport de deux khi-deux ind??pendants des variables al??atoires r??parties par leurs degr??s respectifs de libert??.

Approximation normale

Si $X \ sim \ chi ^ 2_k$ , Alors que $k$ tend vers l'infini, la distribution de $X$ tend ?? la normalit??. Cependant, la tendance est lente (l'asym??trie est $\ Sqrt {8 / k}$ et l'exc??s de kurtosis est $12 / k$ ) Et deux transformations sont g??n??ralement consid??r??s, dont chacun se rapproche plus rapide que la normale $X$ m??me:

Fisher empirique a d??montr?? que $\ Sqrt {} 2X$ est approximativement normale de moyenne $\ Sqrt {2k-1}$ et de variance unit??. Il est possible d'arriver au m??me r??sultat d'approximation normale en utilisant instant correspondant. Pour le voir, consid??rer la moyenne et la variance d'une variable al??atoire Chi-distribu??s $z = \ sqrt {X}$ , Qui sont donn??s par $\ Mu_z = \ sqrt {2} \ frac {\ Gamma \ left (k / 2 + 1/2 \ right)} {\ Gamma \ gauche (k / 2 \ right)}$ et $\ Sigma_z ^ 2 = k \ mu_z ^ 2$ O?? $\ Gamma (\ cdot)$ est la fonction Gamma. Le rapport particulier des fonctions Gamma dans $\ Mu_z$ a le d??veloppement en s??rie suivant :

$\ Frac {\ Gamma \ left (N + 1/2 \ right)} {\ Gamma \ left (N \ right)} = \ sqrt {N} \ left (1- \ frac {1} {} 8N + \ frac {1} {2} ^ 128N + \ frac {5} {3} 1024N ^ - \ frac {21} {4} 32768N ^ + \ ldots \ droite).$ Quand $N \ gg 1$ , Ce rapport peut ??tre approch??e comme suit: $\ Frac {\ Gamma \ left (N + 1/2 \ right)} {\ Gamma \ left (N \right)}\approx\sqrt{N}\left(1-\frac{1}{8N}\right)\approx\sqrt{N}\left(1-\frac{1}{4N}\right)^{0.5}=\sqrt{N-1/4}.$

Alors, simple moment r??sultats correspondants dans l'approximation suivante $z$ : $z \ sim {\ mathcal N} \ left (\ sqrt {k-1/2}, \ frac {1} {2} \ right)$ D'o?? il r??sulte que $\ Sqrt {} 2X \ sim {\ mathcal N} \ left (\ sqrt {2k-1}, 1 \ right)$ .

Wilson et Hilferty ont montr?? en 1931 que $\ Sqrt [3] {X / k}$ est approximativement normale de moyenne $1-2 / (9k)$ et la variance $2 / (9k)$ .

Le valeur attendue d'une variable al??atoire ayant une distribution chi-carr?? avec $k$ degr??s de libert?? est $k$ et la variance est $2k$ . La m??diane est donn??e approximativement par

$k \ frac {2} {3} + \ frac {4} {} 27k - \ frac {} {8 729k ^ 2}.$

Notez que les deux degr??s de libert?? conduit ?? une distribution exponentielle .

Entropie de l'information

Le entropie de l'information est donn??e par

$H = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty f (x; k) \ ln (f (x; k)) dx = \ frac {k} {2} + \ ln \ left (2 \ Gamma \ left ( \ frac {k} {2} \ right) \ right) + \ left (1 - \ frac {k} {2} \ right) \ psi (k / 2).$

o?? $\ Psi (x)$ est le Fonction digamma.

Distributions connexes

$X \ sim \ mathrm {} exponentielle (\ lambda = \ frac {1} {2})$ est une distribution exponentielle si $X \ sim \ chi_2 ^ 2$ (Avec 2 degr??s de libert??).
$Y \ sim \ chi_k ^ 2$ est une distribution de chi-carr?? si $Y = \ {sum_ m = 1} ^ k ^ 2 X_m$ pour $X_i \ sim N (0,1)$ ind??pendante qui sont normalement distribu?? .
Si le $X_i \ sim N (\ mu_i, 1)$ disposer de moyens non nuls, puis $Y = \ {sum_ m = 1} ^ k ^ 2 X_m$ est tir?? ?? partir d'un distribution chi-carr?? non centrale.
La distribution du chi carr?? $X \ sim \ chi ^ 2_ \ nu$ est un cas particulier de la la distribution gamma, en ce que $X \ sim \ {gamma} textrm (\ frac {\ nu} {2}, 2)$ .
$Y \ sim \ mathrm {F} (\ nu_1, \ nu_2)$ est un F-distribution si $Y = \ frac {X_1 / \ nu_1} {X_2 / \ nu_2}$ o?? $X_1 \ sim \ chi _ {\ nu_1} ^ 2$ et $X_2 \ sim \ chi _ {\ nu_2} ^ 2$ sont ind??pendants avec leurs degr??s respectifs de libert??.
$Y \ sim \ chi ^ 2 (\ bar {\ nu})$ est une distribution de chi-carr?? si $Y = \ {sum_ m = 1} ^ N X_m$ o?? $X_m \ sim \ chi ^ 2 (\ nu_m)$ sont ind??pendants et $\ Bar {\ nu} = \ {sum_ m = 1} ^ N \ nu_m$ .
si $X$ est chi carr?? distribu??, $\ Sqrt {X}$ est chi distribu??.
en particulier, si $X \ sim \ chi_2 ^ 2$ (Chi-carr?? avec deux degr??s de libert??), puis $\ Sqrt {X}$ est Rayleigh distribu??.
si $X_1, \ dots, X_n$ sont iid $N (\ mu, \ sigma ^ 2)$ variables al??atoires , puis $\ Sum_ {i = 1} ^ n (X_i - \ bar X) ^ 2 \ sim \ sigma ^ 2 \ chi ^ 2_ {n-1}$ o?? $\ Bar X = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n X_i$ .
si $X \ sim \ mathrm {} SkewLogistic (\ frac {1} {2}) \,$ , Puis $\ Mathrm {} journal (1 + e ^ {- X}) \ sim \ chi_2 ^ 2 \,$

**Divers chi et distributions du chi carr??**
Nom	Statistique
la distribution chi-carr??	$\ Sum_ {i = 1} ^ k \ frac {\ left (X_i- \ mu_i \ right) ^ 2} {\ sigma_i ^ 2}$
chi carr?? non centrale de distribution	$\ Sum_ {i = 1} ^ k \ left (\ frac {} {X_i \ sigma_i} \ right) ^ 2$
la distribution chi	$\ Sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ k \ left (\ frac {X_i- \ mu_i} {\ sigma_i} \ right) ^ 2}$
distribution chi non centrale	$\ Sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ k \ left (\ frac {} {X_i \ sigma_i} \ right) ^ 2}$

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