Poliedro duale
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In geometria, il poliedro duale di un poliedro P è un altro poliedro Q, ottenuto scambiando i ruoli dei vertici e delle facce di P. Il duale di Q è di nuovo P.
Se P e Q hanno la stessa struttura combinatoria, P è detto autoduale. Fra i 5 solidi platonici, il tetraedro è autoduale, mentre cubo e ottaedro sono uno duale dell'altro; anche icosaedro e dodecaedro sono uno duale dell'altro.
Il duale di un solido archimedeo è un solido di Catalan.
Indice |
[modifica] Definizioni
Non esiste una definizione univoca di poliedro duale che funzioni per tutti i poliedri. Vi sono due nozioni, una combinatoria e l'altra metrica, che sono generalmente coincidenti nei poliedri più regolari.
[modifica] Dualità combinatoria
Dal punto di vista combinatorio, due poliedri P e Q sono duali se esiste una corrispondenza biunivoca T fra gli insiemi di vertici, spigoli e facce di P e Q che inverte le adiacenze. Più precisamente:
- T associa rispettivamente ad un vertice, spigolo o faccia di P una faccia, spigolo o vertice di Q;
- Una faccia F di P incide su uno spigolo S se e solo se lo spigolo T(S) incide sul vertice T(F); viceversa, uno spigolo S incide su un vertice V di P se e solo se la faccia T(V) incide su T(S).
Questa dualità è detta dualità combinatoria. La dualità combinatoria non tiene conto delle grandezze metriche dei poliedri, e cioè dei loro volumi, delle lunghezze dei loro spigoli, o degli angoli formati da questi.
Se P è un poliedro convesso, un duale combinatorio è ottenuto scegliendo un vertice all'interno di ogni faccia e prendendo l'inviluppo convesso di questi punti. Dal punto di vista metrico il duale dipende dalla scelta dei punti, ma non dal punto di vista combinatorio.
[modifica] Dualità metrica
Dal punto di vista metrico, due poliedri P e Q sono duali se sono ottenuti l'uno dall'altro tramite inversione lungo una sfera S. In questo caso si parla di dualità metrica.
Molti solidi, come i solidi regolari o i solidi archimedei, hanno un "centro" O. In questo caso, il duale del solido è generalmente considerato il duale metrico secondo una qualsiasi sfera centrata in O. Sfere con raggi diversi danno luogo a poliedri simili: il poliedro duale è quindi ben definito metricamente solo a meno di similitudine.
[modifica] Poliedri duali
[modifica] Solidi platonici
| solido | duale | ||
|---|---|---|---|
| tetraedro |  |
tetraedro | |
| cubo |  |
ottaedro |  |
| icosaedro |  |
dodecaedro |  |
[modifica] Solidi archimedei
[modifica] Alcuni poliedri non convessi
| solido | duale | ||
|---|---|---|---|
| piccolo dodecaedro stellato |  |
grande dodecaedro |  |
| grande dodecaedro stellato |  |
grande icosaedro |  |
[modifica] Dualità fra sfere geodetiche
| sfera geodetica come triangolazione |  |
sfera geodetica simile ad un'arnia |  |
[modifica] Dualità dei solidi platonici
 |
 |
| Il duale del cubo è l'ottaedro | Il duale dell'ottaedro è il cubo |
 |
 |
| Il duale del dodecaedro è l'icosaedro | Il duale dell'icosaedro è il dodecaedro |
[modifica] Collegamenti esterni
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