Teorema del valor intermedi

De Viquipèdia

En matemàtiques el teorema del valor intermedi estableix que si la funció y=f(x) és contínua en [a,b], i u és un valor entre f(a) i f(b), llavors hi ha, pel capdavall, un c ∈ [a,b] tal que f(c) = u.

En el cas de u=0, el teorema es coneix també amb el nom de teorema de Bolzano . Intuïtivament es pot dir que si una funció va des de un valor inicial fins a un altre de final, i és contínua, ha de passar per tots els valors intermedis. Això representa la idea de que la gràfica d’una funció contínua en un interval tancat es pot dibuixar sense aixecar el llapis del paper.

No confondre amb el teorema del valor mitjà que diu que dins del interval, si la funció és derivable, hi ha d’haver un punt on el pendent coincideixi amb el pendent mitjà.

Tampoc confondre amb el Teorema de Bolzano-Weierstrass que diu que un subconjunt de $R n$ és seqüencialment compacte si és tancat i afitat.

Taula de continguts

1 Definició formal
2 Demostració
3 Generalització
4 Exemple d’utilització per a demostracions

[edita] Definició formal

Si $f\colon [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ és una funció contínua i u és un nombre real tal que f(a) < u < f(b) o f(a) > u > f(b). Llavors per algun c ∈ [a,b], f(c) = u.

També es pot definir de forma equivalent dient que: si $I$ és un interval interval [a,b] en el conjunt dels nombres reals R i $f\colon I \rightarrow \mathbf{R}$ és una funció contínua. Llavors, el conjunt imatge $\displaystyle f(I)$ és també un interval i conté, o bé [f(a),f(b)], o conté [f(b),f(a)]; es a dir,

$\displaystyle f(I) \supseteq [f(a),f(b)]$ ,

$\displaystyle f(I) \supseteq [f(b),f(a)]$ .

El teorema es compleix gràcies a la completesa dels nombres reals. Pel cas dels racionals és fals. Per exemple, la funció f(x) = x^2 - 2, x ∈ Q satisfà $f(0) = -2,\, f(2) = 2$ . En canvi no hi ha cap nombre racional $\displaystyle x$ tal que $\displaystyle f(x) = 0$ .

[edita] Demostració

Es demostrarà el primer cas $\displaystyle f(a) < u < f (b)$ ; el segon és similar.

Sia $\displaystyle \text{S} = \{ x \in [a,b] : f(x) \leq u \}$ . Llavors $\displaystyle S$ no és buit (dons $\displaystyle a \in \displaystyle S$ ) i té de fita superior $\displaystyle b$ . Per tant per la propietat de completesa dels nombres reals, el suprem $c = \sup \text{S}$ existeix. Es tracta de veure que $\displaystyle f(c) = u$ .

Se suposa primer que $\displaystyle f(c) > u$ . Llavors $\displaystyle f(c) - u > 0$ , per tant hi ha un $\displaystyle \delta > 0$ tal que $\displaystyle |f(x) - f(c)| < f(c) - u$ sempre que $\displaystyle |x - c| < \delta$ , donat que $\displaystyle f$ és contínua. Però llavors $\displaystyle f(x) > f(c) - (f(c) - u) = u$ sempre que $\displaystyle |x - c| < \delta$ (es a dir $\displaystyle f(x) > u$ per $\displaystyle x$ en $\displaystyle(c - \delta, c + \delta)$ ). Per tant $\displaystyle c - \delta$ és una fita superior de $\displaystyle S$ , però això és una crontradicció donat que $\displaystyle c$ és el suprem (la més petita de totes les cotes superiors) i $\displaystyle c - \delta < \displaystyle c$ .

Tot seguit se suposa que $\displaystyle f(c) < u$ . Altre cop, per continuïtat, hi ha un $\displaystyle \delta > 0$ tal que $\displaystyle |f(x) - f(c)| < u - f(c)$ on $\displaystyle |x - c| < \delta$ . Llavors $\displaystyle f(x) < f(c) + (u - f(c)) = u$ per $\displaystyle x$ en $\displaystyle(c - \delta, c + \delta)$ i hi ha nombres $\displaystyle x$ més grans que $\displaystyle c$ per als quals $\displaystyle f(x) < u$ , altre cop una contradicció amb la definició de $\displaystyle c$ .

Es dedueix que $\displaystyle f(c) = u$ tal com diu el teorema.

[edita] Generalització

El teorema del valor intermedi es pot veure com una conseqüència de les dues afirmacions següents de topologia:

Si $\displaystyle X$ i $\displaystyle Y$ són espais topològics, $f\colon X \rightarrow Y$ és contínua, i $\displaystyle X$ és connex, llavors $\displaystyle f(X)$ és connex.
Un subconjunt de $\mathbb{R}$ és connex si i només si és un interval.

[edita] Exemple d’utilització per a demostracions

El teorema rarament s’aplica amb nombres concrets; en canvi dona algunes caracteritzacions de les funcions contínues. Per exemple, sia $\displaystyle g(x) = f(x) - x$ per $\displaystyle f$ contínua al conjunt dels nombres reals. Sia, també $\displaystyle f$ afitada (per damunt i per davall). Llavors es pot afirma que $\displaystyle g = 0$ pel capdavall un cop. Per a veure-ho, es té en compte el següent:

Com que $\displaystyle f$ és afitada, es poden triar $a > \sup(f(x))$ i $b < \inf(f(x))$ . Clarament $\displaystyle g(a) < 0$ i $\displaystyle g(b) > 0$ . Si $\displaystyle f$ és contínua, llavors $\displaystyle g$ també ho és. Co que $\displaystyle g$ és contínua, es pot aplicar el teorema del valor intermedi i establir que $\displaystyle g$ ha de valer 0 en algún lloc entre $\displaystyle a$ i $\displaystyle b$ . Aquest resultat demostra que qualsevol funció contínua afitada ha de tallar la funció, $\displaystyle x$ .