Funci?? identitat

De Viquip??dia

En matem??tiques, una funci?? identitat, anomenada tamb?? aplicaci?? identitat o transformaci?? identitat, ??s una funci?? que sempre retorna el mateix valor que s???ha fet servir com a argument. En altres paraules, la funci?? identitat ??s la funci?? f(x) = x.

Taula de continguts 1 Definici?? 2 Propietat algebraica 3 Exemples 4 Vegeu tamb??

[edita] Definici??

Formalment, si M is a conjunt, la funci?? identitat f de M es defineix com aquella funci?? amb domini i codomini M que satisf??

f(x) = x    per a tots els elements x de M.

La funci?? identitat f de M sovint es denota per id_M o 1_M.

[edita] Propietat algebraica

Si f : M ??? N ??s qualsevol funci??, llavors es t?? f o id_M = f = id_N o f (on "o" denota la composici?? funcional). En particular, id_M ??s l???element identitat dels monoides de totes les funcions de M en M.

Com que l???element identitat de un monoide ??s ??nic, es pot definir de forma alternativa la funci?? identitat de M com la que ??s aquest element identitat. Aquesta definici?? generalitza el concepte de un morfisme identitat en teoria de categories, on els endomorfismes de M no cal que siguin funcions.

[edita] Exemples

• L funci?? identitat ??s un operador linial, quant s???aplica a espais vectorials.
• La funci?? identitat en el conjunt dels nombres enters positius ??s una funci?? totalment multiplicativa (essencialment multiplicaci?? per 1), estudiada en teoria de nombres.
• En un espai vectorial de dimensi?? n la funci?? identitat es representa per la matriu identitat I_n, independentment de la base.
• E un espai m??tric la identitat ??s de forma trivial una isometria. Un objecte sense cap simetria t?? com a grup sim??tric el grup trivial que nom??s cont?? aquesta isometria (simetria tipus C₁).

[edita] Vegeu tamb??

• aplicaci?? inclusi??