Forma bilineal

De Viquipèdia

Siguin $V \,$ i $W \,$ objectes matemàtics qualsevol, tots dos amb estructura lineal, l'un per l'esquerra i l'altre per la dreta, sobre un altre objecte $K$ amb estructura aritmètica. Típicament $V \,$ i $W \,$ són dos $K$ -mòduls, l'un per l'esquerra i l'altre per la dreta, sobre un anell $K$ , o dos espais vectorials, igualment l'un per l'esquerra i l'altre per la dreta, sobre un cos $K$ . Una forma bilineal $ω$ és una aplicació

$\omega: V \times W \longrightarrow K \,$

del producte cartesià dels objectes $V \,$ i $W \,$ a l'objecte $K \,$ que compleix el requeriment de linealitat a les dues components:

$\omega(\lambda x + \mu y, z) = \lambda \omega(x, z) + \mu \omega(y, z) \,,\quad x, y \in V \,,\quad z \in W \,,\quad \lambda, \mu \in K \,$

$\omega(x, z\lambda + t\mu) = \omega(x, z)\lambda + \omega(x, t)\mu \,,\quad x \in V \,,\quad z, t \in W \,,\quad \lambda, \mu \in K \,$

Taula de continguts

1 Notació
2 Formes bilineals degenerades i no degenerades
3 Formes bilineals simètriques i alternades
4 Matriu d'una forma bilineal
5 Exemples
6 Vegeu també

[edita] Notació

Si $ω$ és una forma bilineal i $x \in V$ i $y \in W$ , hom sol usar la notació

$\langle x, y \rangle_{\omega} \,$

per expressar el valor $\omega(x, y)\,$ de la forma $\omega\,$ en la parella $(x, y)\,$ , és a dir, $\langle x, y \rangle_{\omega} = \omega(x, y) \,$ i, si en el context no hi ha ambigüitat, hom pot prescindir del símbol que nombra la forma $ω$ :

$\langle x, y \rangle \,$

[edita] Formes bilineals degenerades i no degenerades

Els conjunts

$N_{V} = \left\{x \in V, \forall y \in W, \langle x, y \rangle = 0\right\} \,,\quad N_{W} = \left\{y \in W, \forall x \in V, \langle x, y \rangle = 0\right\} \,$

són els submòduls nuls (subespais nuls) de la forma bilineal. Si $N_{V} = \{0\} \,$ i $N_{W} = \{0\} \,$ aleshores la forma bilineal es diu no degenerada i degenerada en cas contrari. Si la forma és degenerada i $\pi_{V}: V \longrightarrow V/N_{V} \,$ i $\pi_{W}: W \longrightarrow W/N_{W} \,$ són les respectives projeccions canòniques, la forma bilineal

$\tilde{\omega}: V/N_{V} \times W/N_{W} \longrightarrow K \,$

$\langle \pi_{V}(x), \pi_{W}(y) \rangle = \langle x, y \rangle \,$

és no degenerada.

[edita] Formes bilineals simètriques i alternades

Si $V = W \,$ i $K \,$ és conmutatiu, té sentit definir com a forma bilineal simètrica aquella que compleix

$\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle \,$

i com a forma bilineal alternada la que compleix

$\forall x \in V, \quad \langle x, x \rangle = 0 \in K \,$

Per a una forma bilineal alternada, si $x, y \in V \,$ , tenim

$\begin{align} 0 &= \langle x + y, x + y \rangle = \langle x, x + y \rangle + \langle y, x + y \rangle = \\ &= \langle x, x \rangle + \langle x, y \rangle + \langle y, x \rangle + \langle y, y \rangle = \\ &= \langle x, y \rangle + \langle y, x \rangle \end{align} \,$

que implica

$\langle x, y \rangle = - \langle y, x \rangle \,$

En canvi, de l'última igualtat no es pot deduir que $\langle x, x \rangle = 0 \,$ , si no és que la característica de $K \,$ és diferent de 2: la condició $\langle x, x \rangle = 0 \,$ és, doncs, més restrictiva que la condició $\langle x, y \rangle = - \langle y, x \rangle$ .

[edita] Matriu d'una forma bilineal

Si $V \,$ i $W \,$ són mòduls lliures finitament generats, o bé, espais vectorials de dimensió finita i $\mathcal{B}_V = \left\{v_1, \ldots v_m \right\}$ i $\mathcal{B}_W = \left\{w_1, \ldots w_n \right\}$ en són bases respectives, una forma bilineal $\omega: V \times V^{\ast} \longrightarrow K \,$ queda determinada pels $m \times n$ valors

$\langle v_i, w_j \rangle_{\omega} \,,\quad i = 1, \ldots, m \,,\quad j = 1, \ldots, n \,$

Si es disposen aquests $m \times n$ valors en una matriu de $n$ files i $m$ columnes,

$M = \left(\langle v_i, w_j \rangle_{\omega}\right) \,,\quad i = 1, \ldots, m \,,\quad j = 1, \ldots, n \,$

aleshores el càlcul de $\langle v, w \rangle_{\omega}$ és

$\langle v, w\rangle = w^{T} M v \,$

on $w T$ és el transposat de $w$ , és a dir, amb les components escrites en una fila, enlloc de en una columna.

En canvi, si la matriu és de $m$ files i $n$ columnes, és a dir, la matriu transposada de la matriu $M$ , el càlcul és

$\langle v, w\rangle = v^{T} M^{T} w \,$

[edita] Exemples

[edita] L'àrea d'un paral·lelogram

Sigui $V 2$ l'espai vectorial dels vectors del pla sobre el cos dels nombres reals i sigui $\mathcal{B} \,$ una base d'aquest espai. L'aplicació que fa correspondre a cada parella de vectors l'àrea del paral·lelogram que determinen, mesurada tot prenent l'àrea del paral·lelogram que determinen els vectors de la base $\mathcal{B} \,$ com a unitat de mesura és una forma bilineal $V_2 \times V_2 \longrightarrow \mathbb{R}$ . Com que, a més, un vector qualsevol i ell mateix determinen un paral·lelogram d'àrea zero, es tracta d'una forma bilineal alternada, que no és altra que el determinant de dos vectors de $V 2$ .

[edita] El producte escalar euclidià

El producte escalar en un espai euclidià és una forma bilineal simètrica. En efecte, si escrivim el producte $\vec{x} \cdot \vec{y} \,$ en la forma $\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle \,$ , pròpia de les formes bilineals, les propietats del producte escalar i tenim en compte la conmutativitat de $\mathbb{R}$ ,

$(x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z \,,\quad x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z \,$

$(\lambda x) \cdot y = x \cdot (\lambda y) = \lambda (x \cdot y) \,$

$x \cdot y = y \cdot z \,$

obtenim

$\langle x + y, z \rangle = \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle \,,\quad \langle x, (y + z) \rangle = \langle x, y \rangle + \langle x, z \rangle \,$

$\langle \lambda x, y \rangle = \langle x, \lambda y \rangle = \lambda \langle x, y \rangle \,$

$\langle x, y \rangle = \langle y, z \rangle \,$

i és clar que es tracta d'una forma bilineal simètrica.

[edita] Còniques i quàdriques

Una quàdrica o superfície quàdrica és una hipersuperfície definida en un espai vectorial n-dimensional pels punts que anul·len un polinomi quadràtic de n variables:

$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{i} P_{ij} x_{i} x_{j} + \sum_{k=1}^{n} Q_{k} x_{k} + R = 0 \,$

L'estudi i la classificació de cada quàdrica se sol fer a partir de l'estudi de la forma bilineal simètrica de matriu

$\begin{pmatrix} P_{11} & P_{12}/2 & \ldots & P_{1n}/2 \\ P_{21}/2 & P_{22} & \ldots & P_{2n}/2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ P_{n1}/2 & P_{n2}/2 & \ldots & P_{nn} \end{pmatrix} \,$

obtinguda a partir dels coeficients dels termes de segon grau de l'equació de la quàdrica en estudi.

[edita] Mòduls o espais duals

Si $V$ és un $> K$ -mòdul i $V^{\ast}$ és el seu mòdul dual, l'aplicació

$\omega: V \times V^{\ast} \longrightarrow K \,$

$\langle x, \varphi \rangle_{\omega} = \langle x, \varphi \rangle \,$

que a la parella $(x, \varphi)$ li fa correspondre el valor $\langle x, \varphi \rangle$ de la forma $\varphi$ en l'element $x \in V$ és òbviament una forma bilineal.