Equaci?? de continu??tat

De Viquip??dia

En f??sica una equaci?? de continu??tat expressa una llei de conservaci?? utilitzant el flux de la magnitud que es conserva al llarg d'una superf??cie tancada. L'equaci?? de conservaci?? pot expressar-se en forma diferencial o integral.

Taula de continguts

1 Teoria electromagn??tica
2 Din??mica de fluids
3 Mec??nica qu??ntica
4 Quadricorrent
5 Vegeu tamb??

[edita] Teoria electromagn??tica

En electromagnetisme, l'equaci?? de continu??tat es deriva de dues de les equacions de Maxwell i estableix que la diverg??ncia de la densitat de corrent ??s igual a la taxa negativa de canvi de la densitat de c??rrega.

$\nabla \cdot \mathbf{J} = - {\partial \rho \over \partial t}$

[edita] Derivaci??

Una de les equacions de Maxwell, la llei d'Amp??re, estableix que

$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + {\partial \mathbf{D} \over \partial t}.$

Prenent la diverg??ncia dels dos costats en resulta

$\nabla \cdot \nabla \times \mathbf{H} = \nabla \cdot \mathbf{J} + {\partial \nabla \cdot \mathbf{D} \over \partial t}$

per?? la diverg??ncia d'un rotacional ??s zero, per tant

$\nabla \cdot \mathbf{J} + {\partial \nabla \cdot \mathbf{D} \over \partial t} = 0. \qquad \qquad (1)$

Una altra de les equacions de Maxwell, la llei de Gauss, estableix que

$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho.\,$

Substituim aix?? a l'equaci?? (1) per tal d'obtenir

$\nabla \cdot \mathbf{J} + {\partial \rho \over \partial t} = 0,\,$

que ??s l'equaci?? de continu??tat.

[edita] Interpretaci??

La densitat de corrent ??s la densitat del moviment de la densitat de c??rrega. L'equaci?? de continu??tat diu que si la c??rrega cap a fora d'un diferencial de volum (per exemple, la diverg??ncia de la densitat de corrent ??s positiva) llavors la quantitat de c??rrega a aquell volum disminueix, per tant, la taxa de densitat de c??rrega ??s negativa. En conseq????ncia, l'equaci?? de continu??tat quantifica la conservaci?? de la c??rrega.

[edita] Notaci?? relativista

L'equaci?? de continu??tat pot ser escrita de manera molt simple i compacta utilitzant la notaci?? de la relativitat general. Es defineix el quadrivector densitat de corrent, el seu component temporal ??s la densitat de c??rrega i el component espacial ??s el vector densitat de corrent; d'aquesta manera l'equaci?? de continu??tat esdev??:

$\partial_\mu J^\mu = 0$

[edita] Din??mica de fluids

En din??mica de fluids l'equaci?? de continu??tat ??s una equaci?? de conservaci?? de la massa. La seva forma diferencial ??s

${\partial \rho \over \partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0$

on $??$ ??s la densitat, t ??s el temps, i v la velocitat del fluid.

[edita] Mec??nica qu??ntica

En mec??nica qu??ntica, la conservaci?? de probabilitat tamb?? produeix una equaci?? de continu??tat. Si P(x, t) ??s l'amplitud de probabilitat de la densitat, podem escriure

$\nabla \cdot \mathbf{j} = -{ \partial \over \partial t} P(x,t)$