Continuaci?? anal??tica maximal

De Viquip??dia

La continuaci?? anal??tica maximal ??s una formalitzaci?? m??s abstracta de la noci?? de continuaci?? anal??tica.

Sigui $\mathbb S$ l'esfera de Riemann; una superf??cie de Riemann regular sobre un conjunt obert $\ \Omega\subset\mathbb S$ ??s un parell $\ \left(R,p\right)$ on $R$ ??s una superf??cie de Riemann (??s a dir, una varietat complexa de dimensi?? 1) i $p:R\rightarrow\Omega$ ??s un biholomorfisme local exhaustiu. Una continuaci?? anal??tica regular d'un element de funci?? holomorfa consisteix en una superf??cie de Riemann regular sobre un conjunt obert $\Omega\subset\mathbb S$ tal que $U\subset \pi(S)$ , en una immersi?? holomorfa $j\,\colon\, U\rightarrow S$ tal que $\pi\circ j=id\vert_{U}$ i en una funci?? holomorfa $F\,\colon\, S\rightarrow \mathbb S$ tal que $F\circ j=f$ .

Un morfisme entre dues continuacions anal??tiques $\left(S,\pi,j,F\right)$ i $\left(T,\varrho,\ell,G\right)$ del mateix element $\left(U,f \right)$ ??s una funci?? holomorfa $h\,\colon\, T\rightarrow S$ tal que $h\circ\ell=j$ .

Un tal morfisme ??s una funci?? no constant, un??vocament determinada en $j (U)$ , (i per tant en tot $S$ ) mitjan??ant $\ell\circ j^{-1}$ . A m??s, $\varrho\circ h=\pi$ i $G\circ h=F$ en $j (U)$ i per tant en tot $S$ .

L'??nic morfisme entre una continuaci?? anal??tica i ella mateixa ??s la identitat, la composici?? de dos morfismes tamb?? ??s un morfisme; si un morfisme admet una funci?? holomorfa com a inversa, ella ??s tamb?? un morfisme: en tal cas, parlem d'un isomorfisme de continuacions anal??tiques.

Definici??: una continuaci?? anal??tica $S$ de l'element $\left(U,f \right)$ ??s maximal si, per a cada continuaci?? $\widehat S$ de $\left(U,f \right)$ existeix un morfisme $h\,\colon\, S\rightarrow \widehat S$ .

??s de remarcar que dues continuacions maximals del mateix element s??n necess??riament isomorfes, ja que la continuaci?? anal??tica maximal ??s ??nica llevat d'isomorfismes.

Teorema: cada element $\left(U,f \right)$ de funci?? holomorfa t?? una continuaci?? anal??tica maximal $Q:= \left(S,\pi ,j,F \right)$ .

Demostraci??: siguin # ${\mathcal U}=\{\left(U_i,f_i \right)\}_{i\in I}$ el conjunt format mitjan??ant els elements connectables amb $\left(U,f \right)$ ; # $S_0=\coprod_{i\in I}U_i$ , $\pi_0=\coprod_{i\in I}id\vert_{U_i}$ i $F_0=\coprod_{i\in I}f_i$ ; # $j_0\,\colon\, U\longrightarrow S_0$ l'immersi?? natural.

Introdu??m una relaci?? d'equival??ncia en $S 0$ : $z_1\in U_{i_1}$ i $z_2\in U_{i_2}$ es diran equivalents si $?? 0 (z 1) = ?? 0 (z 2)$ i $f_{i_1}=f_{i_2}$ en un entorn de $?? 0 (z 1) = ?? 0 (z 2)$ en $U_{i_1} \cap U_{i_2}$ .

Sigui $S$ el conjunt quocient i $q\,\colon\,S_0 \longrightarrow S$ la projecci?? can??nica: una base per a la topologia d' $S$ est?? formada pels $[U_i]:=\{q\left(U_i \right)\}$ . Definim $j\,\colon\,U\longrightarrow S$ , $\pi\,\colon\, S\longrightarrow \mathbb C^N$ , $F\,\colon\, S\longrightarrow \mathbb C^N$ mitjan??ant $j=q\circ j_0$ , $\pi \left(q(z) \right)=\pi_0(z)$ i $F\left(z_i \right)=f_i\left(z_i \right)$ .

Aquestes aplicacions estan ben definides i s??n cont??nues; a m??s, $??$ ??s un homeomorfisme local.

L'espai topol??gic $S$ ??s Hausdorff: de fet, si $q\left(z_i \right)\not=q\left(z_j \right)$ i $\pi_0\left(z_i \right)=\pi_0\left(z_j \right)$ , considerem un entorn connex $V$ de $\pi_0\left(z_i \right)=\pi_0\left(z_j \right)$ , tal que $f i$ i $f j$ estiguin definits i siguin diferents en $V$ . Siguin $V i$ i $V j$ les c??pies disjuntes de $V$ en $U i$ i de $U j$ en $S 0$ : es veu que ${q\left(V_i \right) \cap q\left(V_j \right)=\emptyset}$ . De fet, si hi hagu??s dos punts $w_i\in V_i$ i $w_j\in V_j$ tals que ${q\left(w_i \right)=q\left(w_j \right)}$ , hi hauria tamb?? $f i = f j$ en un entorn de ${\pi_0\left(w_i \right)=\pi_0\left(w_j \right)}$ , ja que en $V$ , aix?? ??s una contradicci??.

L'espai $S$ ??s connex, perqu?? per a tot parell de punts $p 1, p 2$ amb $p_1\in [U^{\prime}]$ i $p_2\in [U^{\prime\prime}]$ , existeix una cadena ${{\mathcal K}=\{U_{i_0},U_{i_1},\dots, U_{i_n}\}}$ de conjunts oberts connexos no buits, tals que, per a tot $k = 0,...., n ??? 1$ , $U_{i_k}\cap U_{i_{k+1}}\not=\emptyset$ , i tals que $U_{i_0}=U^{\prime}$ i $U_{i_n}=U^{\prime\prime}$ . Per tant el conjunt obert ${[U_{i_0}]\cup\cdots \cup [U_{i_n}]}$ ??s connex i cont?? $p 1$ i $p 2$ .

Puix que $q$ ??s un homeomorfisme local entre $U i$ i $q\left(U_i \right)$ , l'espai $S$ ??s connex; per?? tamb?? $\pi\,\colon\, S\longrightarrow \mathbb C$ ??s un homeomorfisme local, ja que pel teorema de Poincar??-Volterra (Narasimhan pag.25), tamb?? $S$ ??s de base numerable.

L'atles ${\left\{\left([U_i],\pi\vert_{[U_i]} \right) \right\}_{i\in I}}$ defineix una estructura complexa en $S$ , perqu?? per a tot parell $[U i],[U j]$ de mapes locals que es superposen, l'aplicaci?? de transici?? ${\pi\vert_j\circ\pi\vert_i^{-1}}$ ??s l'identitat d'un conjunt obert de ${U_i\cap U_j}$ .

Per a aquesta estructura, les aplicacions $\pi,\ j,\ F$ s??n holomorfes per construcci??, ja que ${ \left( S, \pi,\ j,\ F\right)}$ ??s una continuaci?? anal??tica de $\left(U,f \right)$ .

Es pot demostrar que aquesta continuaci?? ??s maximal: sigui ${\left(T, \varrho, \ell, G\right)}$ una continuaci?? anal??tica de $\left(U,f \right)$ : podem construir un recobriment obert de $R$ mitjan??ant uns ${V i}$ tals que, per a tot $i$ , $\varrho \vert_{\{V_i\}}$ ??s biholomorfa; llavors el parell ${\left(\varrho(V_i), G\circ\varrho\vert_{V_i}^{-1} \right)}$ ??s un element de funci?? holomorfa connectable amb $\left(U,f \right)$ .

Definim ${h_i: V_i\longrightarrow S}$ mitjan??ant ${h_i=q\circ \varrho\vert_{V_i}}$ : si $V_i\cup V_j \not=\emptyset$ , $h i = h j$ en $V_i\cup V_j$ , per tant les definicions locals s'enllacen per definir una aplicaci?? holomorfa $h: T\rightarrow S$ tal que $h\circ\ell=j$ .