Continuació analítica maximal

De Viquipèdia

La continuació analítica maximal és una formalització més abstracta de la noció de continuació analítica.

Sigui $\mathbb S$ l'esfera de Riemann; una superfície de Riemann regular sobre un conjunt obert $\ \Omega\subset\mathbb S$ és un parell $\ \left(R,p\right)$ on $R$ és una superfície de Riemann (és a dir, una varietat complexa de dimensió 1) i $p:R\rightarrow\Omega$ és un biholomorfisme local exhaustiu. Una continuació analítica regular d'un element de funció holomorfa consisteix en una superfície de Riemann regular sobre un conjunt obert $\Omega\subset\mathbb S$ tal que $U\subset \pi(S)$ , en una immersió holomorfa $j\,\colon\, U\rightarrow S$ tal que $\pi\circ j=id\vert_{U}$ i en una funció holomorfa $F\,\colon\, S\rightarrow \mathbb S$ tal que $F\circ j=f$ .

Un morfisme entre dues continuacions analítiques $\left(S,\pi,j,F\right)$ i $\left(T,\varrho,\ell,G\right)$ del mateix element $\left(U,f \right)$ és una funció holomorfa $h\,\colon\, T\rightarrow S$ tal que $h\circ\ell=j$ .

Un tal morfisme és una funció no constant, unívocament determinada en $j (U)$ , (i per tant en tot $S$ ) mitjançant $\ell\circ j^{-1}$ . A més, $\varrho\circ h=\pi$ i $G\circ h=F$ en $j (U)$ i per tant en tot $S$ .

L'únic morfisme entre una continuació analítica i ella mateixa és la identitat, la composició de dos morfismes també és un morfisme; si un morfisme admet una funció holomorfa com a inversa, ella és també un morfisme: en tal cas, parlem d'un isomorfisme de continuacions analítiques.

Definició: una continuació analítica $S$ de l'element $\left(U,f \right)$ és maximal si, per a cada continuació $\widehat S$ de $\left(U,f \right)$ existeix un morfisme $h\,\colon\, S\rightarrow \widehat S$ .

És de remarcar que dues continuacions maximals del mateix element són necessàriament isomorfes, ja que la continuació analítica maximal és única llevat d'isomorfismes.

Teorema: cada element $\left(U,f \right)$ de funció holomorfa té una continuació analítica maximal $Q:= \left(S,\pi ,j,F \right)$ .

Demostració: siguin # ${\mathcal U}=\{\left(U_i,f_i \right)\}_{i\in I}$ el conjunt format mitjançant els elements connectables amb $\left(U,f \right)$ ; # $S_0=\coprod_{i\in I}U_i$ , $\pi_0=\coprod_{i\in I}id\vert_{U_i}$ i $F_0=\coprod_{i\in I}f_i$ ; # $j_0\,\colon\, U\longrightarrow S_0$ l'immersió natural.

Introduïm una relació d'equivalència en $S 0$ : $z_1\in U_{i_1}$ i $z_2\in U_{i_2}$ es diran equivalents si $π 0 (z 1) = π 0 (z 2)$ i $f_{i_1}=f_{i_2}$ en un entorn de $π 0 (z 1) = π 0 (z 2)$ en $U_{i_1} \cap U_{i_2}$ .

Sigui $S$ el conjunt quocient i $q\,\colon\,S_0 \longrightarrow S$ la projecció canònica: una base per a la topologia d' $S$ està formada pels $[U_i]:=\{q\left(U_i \right)\}$ . Definim $j\,\colon\,U\longrightarrow S$ , $\pi\,\colon\, S\longrightarrow \mathbb C^N$ , $F\,\colon\, S\longrightarrow \mathbb C^N$ mitjançant $j=q\circ j_0$ , $\pi \left(q(z) \right)=\pi_0(z)$ i $F\left(z_i \right)=f_i\left(z_i \right)$ .

Aquestes aplicacions estan ben definides i són contínues; a més, $π$ és un homeomorfisme local.

L'espai topològic $S$ és Hausdorff: de fet, si $q\left(z_i \right)\not=q\left(z_j \right)$ i $\pi_0\left(z_i \right)=\pi_0\left(z_j \right)$ , considerem un entorn connex $V$ de $\pi_0\left(z_i \right)=\pi_0\left(z_j \right)$ , tal que $f i$ i $f j$ estiguin definits i siguin diferents en $V$ . Siguin $V i$ i $V j$ les còpies disjuntes de $V$ en $U i$ i de $U j$ en $S 0$ : es veu que ${q\left(V_i \right) \cap q\left(V_j \right)=\emptyset}$ . De fet, si hi hagués dos punts $w_i\in V_i$ i $w_j\in V_j$ tals que ${q\left(w_i \right)=q\left(w_j \right)}$ , hi hauria també $f i = f j$ en un entorn de ${\pi_0\left(w_i \right)=\pi_0\left(w_j \right)}$ , ja que en $V$ , això és una contradicció.

L'espai $S$ és connex, perquè per a tot parell de punts $p 1, p 2$ amb $p_1\in [U^{\prime}]$ i $p_2\in [U^{\prime\prime}]$ , existeix una cadena ${{\mathcal K}=\{U_{i_0},U_{i_1},\dots, U_{i_n}\}}$ de conjunts oberts connexos no buits, tals que, per a tot $k = 0,...., n - 1$ , $U_{i_k}\cap U_{i_{k+1}}\not=\emptyset$ , i tals que $U_{i_0}=U^{\prime}$ i $U_{i_n}=U^{\prime\prime}$ . Per tant el conjunt obert ${[U_{i_0}]\cup\cdots \cup [U_{i_n}]}$ és connex i conté $p 1$ i $p 2$ .

Puix que $q$ és un homeomorfisme local entre $U i$ i $q\left(U_i \right)$ , l'espai $S$ és connex; però també $\pi\,\colon\, S\longrightarrow \mathbb C$ és un homeomorfisme local, ja que pel teorema de Poincaré-Volterra (Narasimhan pag.25), també $S$ és de base numerable.

L'atles ${\left\{\left([U_i],\pi\vert_{[U_i]} \right) \right\}_{i\in I}}$ defineix una estructura complexa en $S$ , perquè per a tot parell $[U i],[U j]$ de mapes locals que es superposen, l'aplicació de transició ${\pi\vert_j\circ\pi\vert_i^{-1}}$ és l'identitat d'un conjunt obert de ${U_i\cap U_j}$ .

Per a aquesta estructura, les aplicacions $\pi,\ j,\ F$ són holomorfes per construcció, ja que ${ \left( S, \pi,\ j,\ F\right)}$ és una continuació analítica de $\left(U,f \right)$ .

Es pot demostrar que aquesta continuació és maximal: sigui ${\left(T, \varrho, \ell, G\right)}$ una continuació analítica de $\left(U,f \right)$ : podem construir un recobriment obert de $R$ mitjançant uns ${V i}$ tals que, per a tot $i$ , $\varrho \vert_{\{V_i\}}$ és biholomorfa; llavors el parell ${\left(\varrho(V_i), G\circ\varrho\vert_{V_i}^{-1} \right)}$ és un element de funció holomorfa connectable amb $\left(U,f \right)$ .

Definim ${h_i: V_i\longrightarrow S}$ mitjançant ${h_i=q\circ \varrho\vert_{V_i}}$ : si $V_i\cup V_j \not=\emptyset$ , $h i = h j$ en $V_i\cup V_j$ , per tant les definicions locals s'enllacen per definir una aplicació holomorfa $h: T\rightarrow S$ tal que $h\circ\ell=j$ .