Web Analytics Made Easy - Statcounter

[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Continuaci?? anal??tica - Viquip??dia

Continuaci?? anal??tica

De Viquip??dia

[edita] Introducci??

Es consideri un punt p del pla complex i la s??rie de pot??ncies en z ??? p:

??0 + ??1(z ??? p) + ??2(z ??? p)2 + ??3(z ??? p)3 + ...

Aquesta s??rie de pot??ncies convergeix en un cert cercle C1 de centre p i doncs hi definiex una funci?? holomorfa f; escrivem fp per a posar en evid??ncia el punt de desenvolupament.

Considerem un punt q\in C_1 i desenvolupem f en s??rie de pot??ncies de z ??? q:

fq(z) = ??0 + ??1(z ??? q) + ??2(z ??? q)2 + ??3(z ??? q)3 + ...

Si ??s cas que el cercle de converg??ncia C2 d'aquesta darrera s??rie no sigui continugut en C1, hom ha de fet obtingut una coneixen??a m??s ampla de f, mitjan??ant la definici??: f(z):= \left\{ \begin{matrix} f_p(z) & \textrm{si}\ z\in C_1\\ f_q(z) & \textrm{si}\ z\in C_2 \end{matrix} \right.

Aquesta definici?? ??s b?? posada, perqu?? z\in C_1\cap C_2 \Rightarrow f_p(z) =f_q(z).

Direm que l'extenci?? de f a C_1\cup C_2 aix?? obtinguda ??s una continuaci?? anal??tica (o tamb?? un prolungament anal??tic) de f_p :C_1\rightarrow \mathbb C ; direm tamb?? que f_q :C_2\rightarrow \mathbb C ??s una continuaci?? anal??tica de f_p :C_1\rightarrow \mathbb C i viceversa.

Per exemple, es pot senzillament veure que les dues s??ries de pot??ncies \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n} {2^{n+1}}\ (\vert z \vert<2) i \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-i) ^n}{(2-i)^{n+1}}\ \vert z-i \vert<\sqrt{5} s??n cadascuna una continuaci?? anal??tica de l'altra. Notem que totes dues representen la funci?? z\mapsto 1/(2-z). M??s in general, si ??s cas que f, definida a priori dins un conjunt obert U\subset\mathbb C, es pugui restringir a un conjunt obert V\subset U i successivament f\vert_V pugui ??sser prolongada a un conjunt obert W\not\subset U, direm que la nova funci?? obtenida es una continuaci?? anal??tica de f.

[edita] Les definicions b??siques

Un element de funci?? 1holomorfa ??s un parell \left(U,f \right), on U ??s un conjunt obert a conexi?? simple del pla complex, f:U\rightarrow \mathbb C una funci?? holomorfa definida en U, que pren valors en \mathbb C. Dos elements \left(U,f \right) i \left(V,g \right) s??n conectables si existeix una successi?? finita

\left\{(U_j,f_j)\right\}_{j=0,....,n},

tal que \left(U_0,f_0 \right)=\left(U,f \right), \left(U_n,f_n \right)=\left(V,g \right) i, per a tot j = 0,....,n ??? 1,

\left\{ \begin{matrix} & U_j\cap U_{j+1}\not= \emptyset,\\ & f_{j+1}\vert_{U_j\cap U_{j+1}}=f_{j} \vert_{U_j\cap U_{j+1}}. \end{matrix} \right.


Direm que \ \{(U_i,f_i)\}_{i=0...n}\ ??s una continuaci?? anal??tica de (U,f) (o de (V,g)). Direm tamb??, si no hi ha possibilitat de confusi??, que cada element ??s una continuaci?? anal??tica de (U,f) (o de (V,g)). Els elements \left\{(U_j,f_j)\right\}_{j=0,....,n} es diran enlla??ats.

Una continuaci?? anal??tica al llarg d'un cam?? \gamma:[0,1]\rightarrow\mathbb C (per a senzillesa suposem que ?? sigui C1 a trets) ??s una continuaci?? anal??tica {(Ui,fi)}i = 0...n tal que \bigcup_{i=0}^n U_i\supset\gamma([0,1]).

Cal sens dubte recordar que la continuaci?? anal??tica al llarg d'un cam?? tancat no conserva pas, en general, els valors de la funci?? en un entorn del punt de partida: es tingui en compte, per exemple, la determinaci?? \varphi de la funci?? 'arrel quadrada complexa', en un entorn de 1, tal que \varphi(1)=1.

Es pot veure \varphi, en coordenades polars, com a l'aplicaci?? que envia \varrho \exp(i\vartheta) cap a \sqrt{\varrho}\exp(i\vartheta/2), on \sqrt{\ } indica l'operaci?? d'arrel quadrada real positiva. Intu\"\i tivament, continuem \varphi al llarg de la circumfer??ncia unitat: despr??s una volta compleda, ??s a dir un increment de \vartheta igual a 2??, obtenim un nou element de funci?? holomorfa ?? en un entorn de 1, que ha redu\"\i t a meitat l'increment de de 2?? l'argument de z.

Doncs, \arg(\psi(z)) =\arg(\varphi(z))+\pi, ??s a dir \varphi=-\psi. Naturalment, una altra volta de 2?? ens porta de bell nou a l'element de partida \varphi.

Es pot veure que el conjunt de les continuacions anal??tiques d'un mateix element forma de manera natural una superf??cie de Riemann, anomenada superf??cie de Riemann de l'element o tamb?? continuaci?? anal??tica maximal, que existeix gracies al Lema de Zorn.

[edita] Formaci?? de fronteres naturals

Es consideri un element de funci?? holomorfa (U,f): pot succeir que, per a cada restricci?? (V,g) de (U,f) (??s a dir, V\subset U i g=f\vert_V ) no existeixi cap continuaci?? anal??tica (W,h) de (V,g) tal que W\cap U\not\subset U. Si ??s cas, direm que \partial U ??s una frontera natural per a l'element (U,f). Considerem per exemple la s??rie de pot??ncies

\sum_{n=0}^{\infty}z^{2^n}=1+z^2+z^4+ z^8+...:

gracies al teorema de Cauchy-Hadamard ella convergeix dins el disc \vert z\vert<1, i doncs hi definieix una funci?? holomorfa h. De m??s, h(z)\to\infty llavors que z\to 1 al llarg de l'eix real. Puix que h(z2) = 1 + z4 + z8 + z16 + ... = h(z) ??? z2 hom ha \lim_{z\to{-1},z\in\mathbb R} h(z) = \lim_{z\to{-1},z\in\mathbb R} \left(z^2+h(z^2) \right) =\infty .

De la mateixa manera, h(z) = z2 + z4 + h(z4), doncs h\to\infty llavors que z\to\pm i al llarg de l'[[eix imaginari]]; de manera general, h(z)=z^2+...+z^{2^n}+h(z^{2^n}) , per a tot nombre natural n, doncs h\to\infty llavors que z\to \exp({2k\pi/2^n}) al llarg d'un radi del disc.

El conjunt dels punts de la forma \exp({2k\pi/2^n}),\ k,n\in\mathbb Z ??s dens dins el cercle \mathbb T=\{\vert z\vert=1\} , doncs h no admet cap continuaci?? anal??tica a algun punt d'aquesta corba: ella ??s doncs una frontera natural.

Observem que h pot tampoc ser continuada als punts de \mathbb T com a funci?? meromorfa, perqu??, en aquest cas, 1 / h s'anul\cdotlaria en un conjunt amb un punt d'acumulaci?? i seria doncs identicament zero.