Construcció amb regle i compàs

De Viquipèdia

La construcció amb regle i compàs correspon a la construcció de longituds i angles emprant només un regle i un compàs.

Es considera el regle de longitud infinita (amb només un extrem) i que no conté cap marca. A més a més, en relació al compàs, es considera que no es pot emprar per traslladar distàncies. Com si en separar-lo del paper es tanqués de sobte perdent la distància marcada. Aquesta restricció formal, però, no té importància a la pràctica perquè amb regle i compàs és possible traslladar qualsevol distància.

Qualsevol punt construïble amb regle i compàs és també construïble amb només compàs.

Taula de continguts 1 Eines per a la construcció amb regle i compàs 2 Interès 3 Les construccions bàsiques 4 Algunes construccions 4.1 Paral·leles i perpendiculars 4.2 Mediatriu d'un segment 4.3 Bisectriu d'un angle 4.4 Construccions en els triangles 4.5 Polígons

[edita] Eines per a la construcció amb regle i compàs

El "compàs" i el "regle" de les construccions amb regle i compàs tenen unes certes restriccions en relació als existents en el món real:

• El regle és de longitud infinita amb un únic extrem, i no té marques. Només es pot emprar per dibuixar un segment entre dos punts que ja existeixen o per estendre una línia ja existent.
• El compàs pot obrir-se en una mida arbitrària però només és possible d'obrir-lo a les mides que ja s'han construït. A més a més, en separar-lo del paper el compàs es tanca per la qual cosa no és possible emprar-lo per transportar la distància.

La construcció de figures amb aquestes dues eines es basen en la geometria d'Euclides. La geometria euclidiana es basa en un sistema d'axiomes que asseguren que sempre és possible construir una recta que passa per dos punts i que sempre és possible traçar un cercle amb un centre donat que passi per un punt donat. D'aquí la construcció amb regle i compàs.

[edita] Interès

Una de les raons per les quals tenen interès les construccions amb regle i compàs és que no totes les figures geomètriques i no totes les longituds són construïbles. Així, per exemple, mentre que és possible construir pentàgons i hexàgons amb regle i compàs no és possible construir un enneàgon (polígon de 9 costats). De la mateixa manera, tot i que és construïble l'arrel de 2, no és possible construir el nombre e.

A més a més, hi ha tres problemes clàssics que no es poden resoldre amb regle i compàs. Aquests problemes es formulen a continuació.

• La quadratura del cercle: Dibuixar un quadrat amb la mateixa àrea que un cercle donat.
• Duplicació d'un cub: Donat un cub, dibuixar-ne un altre que tingui el doble del volum que el del cub donat.
• Trisecció d'un angle: Dividir un angle donat en tres parts iguals.

Fins el segle XIX no es va poder demostrar que aquests problemes no tenien solució amb regle i compàs, tot i ser coneguts des de molt antic. Pierre Wantzel va demostrar l'any 1837 que no tenien solució els de la duplicació d'un cub i la trisecció d'un angle. La impossibilitat de la quadratura del cercle va ser provada formalment l'any 1882 per Ferdinand_von_Lindemann.

[edita] Les construccions bàsiques

Totes les construccions amb regle i compàs consisteixen en l'aplicació repetida d'un conjunt de cinc construccions bàsiques a partir de punts, rectes i cercles que ja s'han construït. Aquestes cinc construccions són les següents:

• Creació d'una línia entre dos punts ja existents

• Creació d'un cercle amb centre en un punt i que passi per un altre punt

• Creació del punt que es troba a la intersecció de dues linies no paral·leles ja existents

• Creació d'un punt o dels dos punts que es troben en la intersecció d'una recta i un cercle (en el cas de que interseccionin)

• Creació d'un o dels dos punts que es troben en la intersecció de dos cercles (en el cas de que interseccionin)

[edita] Algunes construccions

[edita] Paral·leles i perpendiculars

Recta paral·lela (construir una recta paral·lela al segment (AB) que passi pel punt C):

Construïm el quart punt del paral·lelogram ABCX dibuixant un arc de cercle amb centre C i radi AB i un arc de cercle de centre A i amb radi BC. El punt on es tallen els dos arcs és el punt X. La recta paral·lela és la que passa per C i X.

Recta perpendicular (construir la perpendicular de la recta (AB) que passa pel punt C):

Construïm primer el punt simètric a C respecte de la recta AB. Aquest punt correspon a la intersecció del cercle amb centre A i radi (AC), i el cercle de centre B i radi (BC). Si anomenem aquest punt C', aleshores cal traçar la recta que passa per C i C'. Aquesta recta és la recta perpendicular.

[edita] Mediatriu d'un segment

Mediatriu d'un segment (AB) (correspon a la recta perpendicular al segment que passa pel punt mig entre A i B):

Primer construïm una circumferència (o un arc) amb centre A i que passi per B. Després construïm una circumferència (o un arc) amb centre B i que passi per A. Anomenem C i D els punts on aquestes dues circumferències interseccionen. Finalment construïm la recta que passa per C i D. Aquesta recta és la mediatriu del segment (AB).

[edita] Bisectriu d'un angle

Bisectriu d'un angle (parlant amb propietat, caldria dir-ne la bisectriu d'un sector angular i correspon a l'eix de simetria del sector):

La construcció es detalla a continuació. Suposem que l'angle ve determinat per dos segments que es tallen en un punt que anomenem O:

• Fem uns arcs de circumferència de radi arbitrari centrats en el punt on es tallen els dos segments (el punt O) i que intersectin amb els segments. Siguin A i B els punts d'aquestes interseccions.
• Fem un arc centrat en una de les interseccions (per exemple, seleccionem A) i de radi (AB), i en fem un altre centrat en l'altre intersecció (en aquest cas B) i de radi (AB). Anomenem C a la intersecció dels dos arcs.
• Unim la intersecció dels dos arcs (el punt C) amb el punt on es tallen els dos segments (el punt O).

[edita] Construccions en els triangles

Les bisectrius, mediatrius, alçades, medianes, cercle d'Euler i recta d'Euler són construïbles amb regle i compàs.

[edita] Polígons

És possible construir diversos polígons que tinguin tots els costats iguals i que es trobin inscrits en un cercle. Són construïbles, per exemple, el triangle, el quadrat, el pentàgon, l'hexàgon, l'octàgon però no ho són ni el heptàgon ni l'enneàgon.