Anell ordenat
De Viquipèdia
En l'àlgebra abstracta, un anell ordenat és un anell commutatiu R amb un ordre total 
tal que
- si
i 
, aleshores 
- si
i 
, aleshores 
Els anells ordenats són propis de l'aritmètica. Alguns exemples inclouen els enters, els racionals i els reals. (Els racionals i els reals són, de fet, cossos ordenats). Per una altra banda, els nombres complexos no formen un anell ordenat (o cos).
Al igual que amb els nombres ordinaris, diem que un element c d'un anell ordenat és positiu si 
i negatiu si 
. El conjunt dels elements positius en un anell R acostuma a ser denotat per R + .
Si a és un element d'un anell ordenat R, aleshores el valor absolut de a, denotat per | a | , es defineix de la següent forma:
on − a és el oposat de a i 0 és l'element neutre.
[edita] Propietats bàsiques
- Si i
, aleshores 
Aquesta propietat, a vegades, s'utilitza per a definir anells ordenats en lloc de la segona propietat en la definició de més adalt. - Si
, aleshores | ab | = | a | | b | . - Un anell ordenat no trivial és infinit.
- Si
, aleshores o 
, o 
, o 
Aquesta propietat es deriva del fet que els anells ordenats són abelians, amb ordre total respecte la suma. - Un anell ordenat R no té divisors de zero si i només si R + és tancat respecte el producte, es a dir, ab és positiu si ambdós a i b són positius.
