La identidad de Euler
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En análisis matemático , la identidad de Euler, el nombre de Leonhard Euler , es la ecuación
donde
es El número de Euler, la base del logaritmo natural, 
es la unidad imaginaria , uno de los dos números complejos cuyo cuadrado es negativo (el otro es 
), Y 
es pi , la relación de la circunferencia de un círculo y su diámetro.
La identidad de Euler también a veces se llama la ecuación de Euler.
Naturaleza de la identidad
La identidad de Euler es considerado por muchos como notable por su belleza matemática. Tres básicas aritméticas operaciones se producen exactamente una vez cada uno: Además , la multiplicación y exponenciación . La identidad también enlaza cinco fundamental constantes matemáticas:
- El número 0 .
- El número 1 .
- El número π , que es omnipresente en la trigonometría , geometría del espacio euclidiano , y análisis matemático .
- La número e, la base de los logaritmos naturales , que se produce ampliamente en el análisis matemático (e ≈ 2,71828).
- El número i , unidad imaginaria de los números complejos , que contienen las raíces de todos los polinomios no constantes y que conducen a una visión más profunda en muchos operadores, tales como la integración .
Además, en el análisis matemático, ecuaciones se escriben comúnmente con cero en un lado.
Las percepciones de la identidad
Una encuesta llevada a cabo por lector Matemática Intelligencer nombrada la identidad como el más bello teorema en matemáticas. Otra encuesta de lectores realizada por Physics World en 2004 nombrado identidad de Euler "el mayor ecuación nunca", junto con las ecuaciones de Maxwell .
El libro del Dr. Fabuloso Fórmula de Euler [2006], de Paul Nahin (profesor emérito de la Universidad de New Hampshire), se dedica a la identidad de Euler; es 400 páginas. El libro afirma que la identidad fija "el estándar de oro para la belleza matemática."
Constanza Reid afirmó que la identidad de Euler era "la fórmula más famosa de todas las matemáticas."
Gauss se informa que han comentado que si esta fórmula no fue inmediatamente evidente para un estudiante en que nos dijeron que el estudiante nunca sería un matemático de primera clase.
Después de probar la identidad en una conferencia, Benjamin Peirce, un señalado siglo XIX el matemático y Profesor de Harvard, dijo: "Es absolutamente paradójico, no podemos entenderlo, y no sabemos lo que significa, pero lo hemos probado, y por lo tanto sabemos que debe ser la verdad."
Stanford profesor de matemáticas Keith Devlin dice: "Al igual que un soneto de Shakespeare que captura la esencia del amor, o una pintura que resalta la belleza de la forma humana que es mucho más que un simple color de piel, la ecuación de Euler se agacha en lo más profundo de la existencia."
Derivación
La identidad es un caso especial de La fórmula de Euler de análisis complejo, que establece que
para cualquier número real x. (Tenga en cuenta que los argumentos de la trigonometría se toman las funciones seno y coseno para estar en radianes .) En particular, si
entonces
Desde
y
resulta que
lo que da la identidad
Generalización
La identidad de Euler es un caso especial de la identidad más general que el n-ésimo raíces de la unidad, para n> 1, se suman a 0:
La identidad de Euler es el caso en que n = 2.
Atribución
Mientras Euler escribió acerca de su fórmula que relaciona e para cos y términos de pecado, no hay registro conocido de Euler en realidad afirmando o derivar la ecuación simplificada identidad propia; Por otra parte, la fórmula se conoce probable antes de Euler. Por lo tanto, la cuestión de si es o no la identidad debe ser atribuida a Euler es sin respuesta.
