Velocitat d'escapament

De Viquipèdia

Anàlisi de la velocitat d'escapament d'Isaac Newton. En augmentar la velocitat de la bola de canó, aquesta orbita cada cop més amunt fins que aconsegueix escapar de la gravetat terrestre (projectil E)

La velocitat d'escapament és la velocitat mínima que es necessita per poder escapar de l'atracció del camp gravitatori generat per un objecte qualssevol, enlloc de caure de nou sobre ell o entrar en òrbita a una alçada concreta sobre la seva superfície. Assumim que aquest objecte no es veu afectat per cap altre força externa apart de la gravetat.

Emprant una definició una mica més formal, la velocitat d'escapament és la velocitat inicial que es necessita per anar des d'un punt inicial a un camp gravitatori (amb una energia potencial concreta) fins a l'infinit amb una velocitat residual de zero respecte al camp. Normalment el punt inicial es trobarà a la superfície d'un planeta o satèl·lit natural. Des de la superfície de la Terra la velocitat d'escapament és d'uns 11,2 km/s, de totes maneres a 9.000 km d'alçada a l'espai la velocitat d'escapament del nostre planeta és de tant sols un 7,1 km/s. A aquesta velocitat també se la denomina "segona velocitat còsmica".

Tots els objectes sobre la Terra tenen la mateixa velocitat d'escapament, independentment de si la seva massa es d' 1 kg o de 1000 kg. El que és diferent es la quantitat d'energia necessària per accelerar la massa fins assolir la velocitat d'escapament. Com més massiu sigui l'objecte més energia es necessitarà per aconseguir la velocitat necessària per escapar de la gravetat terrestre.

Si bé la velocitat d'escapament és sempre la mateixa, la velocitat d'escapament "relativa a la superfície" d'un cos en rotació com la Terra, depen de la direcció a la que viatja l'objecte. Per exemple, donat que la velocitat de rotació de la Terra a l'alçada de l'equador és d'uns 465 m/s cap a l'est, un coet llançat tangencialment en direcció est necessita una velocitat d'aproximadament 10.735 km/s "respecte a la superfície" de la terra per assolir la velocitat d'escapament, mentre que si el llancem en direcció oest la velocitat que necessitarem serà d'uns 11.665 km/s. Donat que la velocitat de rotació disminueix conforme ens desplacem cap al nord (augmenta la latitud), la majoria d'emplaçaments pel llançament de coets s'intenten ubicar el més a prop de l'equador possible. Així la zona de llançaments de la ESA (Agència Espacial Europea) es troba a la Guaiana Francesa a només 5 graus per sobre de l'equador.

A causa de l'existència d'atmosfera al nostre planeta no és possible accelerar un objecte a 11,2 km/s prop de la superfície. Aquestes velocitats són molt lluny de les possibilitats de la majoria de sistemes de propulsió hipersònics actuals, i probablement causarien la combustió de l'objecte en qüestió a causa del fregament atmosfèric. Actualment, el sistema que utilitzen les naus i sondes espacials consisteix en col·locar-les prèviament a una òrbita terrestre baixa (LEO, Low Earth Orbit en anglès) i després son accelerades fins a la velocitat d'escapament, que a aquesta alçada és d'aproximadament 10,9 km/s. De totes maneres l'acceleració necessària és generalment encara menys perquè, a aquest tipus d'orbita, les naus acostumen a anar a uns 8 km/s.

[edita] Càlcul de la velocitat d'escapament

Per a calcular la velocitat d'escapament d'un objecte qualsevol de massa m es considera que l'energia cinètica d'aquest cos ha d'igualar l'energia potencial gravitatòria que el lliga al cos celeste, de massa M. Qualsevol energia cinètica igual o superior a aquesta permetrà escapar de l'atracció gravitatòria:

$\frac{1}{2}mv_e^2=\frac{GMm}{r}$

aïllant d'aquí la v_e:

$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}} = \sqrt{\frac{2\mu}{r}}$

on:

v_e és la velocitat d'escapament.
G és la constant de la gravitació universal (6,672·10^-11 N·m²/kg²).
M és la massa del cos celeste (planeta, satèl·lit natural o estrella).
r és la distància entre el centre del cos i el punt en el que estem calculant v_e (si som a la superfície del cos, r serà igual al seu radi).
μ és el paràmetre gravitacional estàndard.

Cal destacar que el valor de la velocitat d'escapament no depen de la massa m de l'objecte; només depen de la massa del cos celeste i augmenta amb la massa d'aquest i disminueix a mesura que ens allunyem del seu centre.

[edita] Múltiples fonts gravitatòries

La velocitat d'escapament des d'una posició en un camp gravitatori amb múltiples origens es deriva de la quantitat total d'energia potencial per kg en aquesta posició concreta relativa a l'infinit. L'energia potencial generada per totes les fonts a el punt concret es poden sumar simplement. Per la velocitat d'escapament aquest càlcul resulta ser l'arrel quadrada de la suma dels quadrats de les velocitats d'escapament individuals de totes les fonts.

Per exemple, des de la superfície de la Terra, la velocitat d'escapament per la combinació Terra i Sol és $\sqrt{11,2^2 + 42,1^2} =43,56\ \mathrm{km}/\mathrm{s}$ . D'aquí es desprèn que la velocitat necessària per abandonar el sistema solar és de 13,6 km/s relativa a la Terra en la direcció de l'òrbita terrestre, ja que a aquesta velocitat cal sumar-li els 30 km/s que representen la velocitat orbital de la Terra al voltant del Sol.

[edita] Llista de velocitats d'escapament

Per abandonar la Terra es requereix una velocitat de 11,2 km/s.

Ubicació	Respecte a	V_e	Ubicació	Respecte a	V_e
Al Sol,	la gravetat solar:	617,5 km/s
A Mercuri,	la gravetat de Mercuri:	4,4 km/s	a Mercuri,	la gravetat del Sol:	67,7 km/s
A Venus,	la gravetat de Venus:	10,4 km/s	a Venus,	la gravetat del Sol:	49,5 km/s
A la Terra,	la gravetat terrestre:	11,2 km/s	a la terra/lluna,	la gravetat del Sol:	42,1 km/s
A la Lluna,	la gravetat llunar:	2,4 km/s	a la lluna,	la gravetat terrestre:	1,4 km/s
A Mart,	la gravetat marciana:	5,0 km/s	a Mart,	la gravetat del Sol:	34,1 km/s
A Júpiter,	la gravetat de Júpiter:	59,5 km/s	a Júpiter,	la gravetat del Sol:	18,5 km/s
A Saturn,	la gravetat de Saturn:	35,5 km/s	a Saturn,	la gravetat del Sol:	13,6 km/s
A Urà,	la gravetat d'Urà:	21,3 km/s	a Urà,	la gravetat del Sol:	9,6 km/s
A Neptú,	la gravetat de Neptú:	23,5 km/s	a Neptú,	la gravetat del sol:	7,7 km/s
al sistema solar,	la gravetat de la Via Làctia:	~1000 km/s^[1]