[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Matriu diagonal - Viquipèdia

Matriu diagonal

De Viquipèdia

En l'àlgebra lineal, una matriu diagonal és una matriu quadrada en que els seus elements valen zero a excepció dels de la diagonal principal, que poden valer zero o no. Així, la matriu D = (di,j) és diagonal si i només si:

(d_{i,j}) = 0\ \forall i \ne j

Per exemple, la matriu següent és diagonal:

\begin{pmatrix} 1 & 0&0 \\ 0 & 4&0 \\ 0&0&-2\end{pmatrix}

Tota matriu diagonal és també una matriu simètrica, triangular (superior i inferior) i, si les entrades provenen del cos ℝ o ℂ , normal.

Un altre exemple de matriu diagonal és la matriu identitat.

[edita] Operacions matricials

Les operacions de suma i producte de matrius són especialment senzilles per a matrius diagonals. Usarem la notació de diag(a1,...,an) per a una matriu diagonal que té les entrades a1,...,an en la diagonal principal, començant per la cantonada superior esquerra. Aleshores, per a la suma es té:

diag(a1,...,an) + diag(b1,...,bn) = diag(a1+b1,...,an+bn)

i per al producte de matrius,

diag(a1,...,an) · diag(b1,...,bn) = diag(a1b1,...,anbn).

La matriu diagonal diag(a1,...,an) és invertible si i només les entrades a1,...,an són totes diferents de 0. En aquest cas, es té

diag(a1,...,an)-1 = diag(a1-1,...,an-1).

En particular, les matrius diagonals formen un subanell de l'anell de les matrius de n×n.

Multiplicar la matriu A per l'esquerra amb diag(a1,...,an) equival a multiplicar la fila i-èssima d' A per ai per a tot i. Multiplicar la matriu A per la dreta amb diag(a1,...,an) equival a multiplicar la columna i-èssima d' A per ai per a tot i.

[edita] Autovalors, autovectors i determinant

  • Els autovalors de diag(a1,...,an) són a1,...,an.
  • Els vectors e1,...,en formen una base d'autovectors.
  • El determinant de diag(a1,...,an) és igual al producte a1·...·an.

[edita] Usos

Les matrius diagonals apareixen en moltes àrees de l'àlgebra lineal. Degut a la simplicitat de les operacions i el càlcul del seu determinant i dels seus valors i vectors propis, sempre és desitjable representar una matriu donada o aplicació lineal com a una matriu diagonal.

De fet, una matriu donada de n×n és semblant a una matriu diagonal si i només si té n autovectors linealment independents. Aquestes matrius reben el nom de diagonalizables.

En el cos dels nombres reals o complexos existeixen més propietats: tota matriu normal és semblant a una matriu diagonal i tota matriu és equivalent a una matriu diagonal amb entrades no negatives.