Matriu simètrica

De Viquipèdia

Una matriu simètrica és una matriu quadrada $A = (a_{i,j}) \in \mathcal M_{n\times n}$ de n×n elements i que satisfà que $a i, j = a j, i$ per a tot $i,j \in \{1,2,3,\dots,n\}$ .

Això és, que té la forma següent:

$A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \cdots & a_{1,n}\\ a_{1,2} & a_{2,2} & a_{2,3} & \cdots & a_{2,n}\\ a_{1,3} & a_{2,3} & a_{3,3} & \cdots & a_{3,n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\ a_{1,n} & a_{2,n} & a_{3,n} & \cdots & a_{n,n}\\ \end{pmatrix}$

Notem que la simetria és respecte la diagonal principal i que si $A$ és una matriu simètrica, la seva matriu transposada $A T$ també ho és i $A = A T$ .

Per exemple, una matriu simètrica A quan n=3 pot ser:

$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 0 & 5\\ 3 & 5 & 6\\ \end{pmatrix}$

[edita] Propietats

Un dels teoremes bàsics sobre aquest tipus de matrius és el teorema espectral de dimensió finita, que diu que tota matriu simètrica tals que les seves entrades siguin reals pot ser diagonalitzada per una matriu ortogonal. Aquest és un cas especial d'una matriu hermítica.