Matriu herm??tica

De Viquip??dia

Una matriu herm??tica ??s una matriu complexa que ??s igual a la seva conjugada-transposada. S'anomena aix?? en honor a Charles Hermite.

Aix??, una matriu (quadrada) d'elements complexos ??s herm??tica si i nom??s si un element a la filera i i columna j ??s igual al conjugat complex de l'element de la filera j i columna i, ??s a dir : per tots els ??ndexs i, j:

$a_{i,j} = \overline{a_{j,i}}$

(cal recordar que el conjugat complex $\overline{z}$ d'un nombre complex $\ z$ ??s aquell nombre amb la mateixa part real i la part imagin??ria oposada).

Un exemple de matriu herm??tica ??s el seg??ent:

$\begin{bmatrix}3&2+i\\ 2-i&1\end{bmatrix}$

En particular, una matriu real ??s hermit??ca si i nom??s si ??s sim??trica.

Qualsevol matriu herm??tica n x n ??s normal, i per conseg??ent ??s diagonalitzable. La matriu diagonal obtinguda nom??s t?? elements reals: en altres paraules, els valors propis d'una matriu herm??tica sempre s??n reals. A m??s, els subespais propis de la matriu s??n ortogonals de dos en dos: existeix una base ortonormal de $\mathbb{C}^n$ constitu??da amb vectors propis de la matriu.