Matriu triangular

De Viquipèdia

Una matriu A de n×m elements:

$A = (a_{i,j}) = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \cdots& a_{1,m}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \cdots& a_{2,m}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \cdots& a_{3,m}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & \cdots& a_{n,m}\\ \end{pmatrix} \in \mathcal M_{n\times m}$

és triangular superior, quan és una matriu quadrada (n=m) i $a i, j = 0$ per a tot i>j i $i,j\in \{1,2,3,\dots,n\}$ . És a dir, té la forma

$A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \cdots& a_{1,n-1}&a_{1,n}\\ 0 & a_{2,2} & a_{2,3} & \cdots& a_{2,n-1}& a_{2,n}\\ 0 & 0 & a_{3,3} & \cdots& a_{3,n-1}& a_{3,n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots&\vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots& a_{n-1,n-1}&a_{n-1,n}\\ 0 & 0 & 0 & \cdots& 0&a_{n,n}\\ \end{pmatrix}$

En cas contrari, si és quadrada però $a i, j = 0$ per a tot i<j i $i,j\in \{1,2,3,\dots,n\}$ , aleshores A és una matriu triangular inferior que té la forma:

$A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & 0 & 0 & \cdots& 0&0\\ a_{2,1} & a_{2,2} & 0 & \cdots& 0& 0\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \cdots& 0& 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots&\vdots\\ a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & a_{n-1,3} & \cdots& a_{n-1,n-1}&0\\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & \cdots& a_{n,n-1}&a_{n,n}\\ \end{pmatrix}$

Per exemple, amb n = 3, la següent matriu és triangular superior:

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

i la següent és triangular inferior:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 8 & 0 \\ 4 & 9 & 7 \\ \end{pmatrix}$

Se solen fer servir les lletres U i L, respectivament, ja que U és la inicial de "upper triangular matrix" i L de "lower triangular matrix", els noms que reben aquestes matrius en anglès.

En general, es poden realitzar les operacions en aquestes matrius en la meitat de temps.