Homomorfisme dual

De Viquipèdia

Si $\varphi: M \longrightarrow N$ és un homomorfisme entre dues estructures lineals (dos mòduls sobre el mateix anell o dos espais vectorials sobre el mateix cos $A$ ) hi ha un únic homomorfisme

$\varphi^{\ast}: N^{\ast} \longrightarrow M^{\ast} \,$

entre les respectives estructures duals que compleix

$\langle m, \varphi^{\ast}(\nu) \rangle = \langle \varphi(m), \nu \rangle \,,\quad m \in M \,,\quad \nu \in N^{\ast} \,$

Aquest homomorfisme, $\varphi^{\ast}$ , és l'homomorfisme dual de l'homomorfisme $\varphi$ .

Taula de continguts

1 Existència i unicitat
- 1.1 Existència
- 1.2 Unicitat
2 Propietats
3 Nuclis i imatges duals
4 Aplicacions duals entre espais vectorials de dimensió finita
5 Matrius d'aplicacions duals
6 Vegeu també

[edita] Existència i unicitat

[edita] Existència

La relació

$\langle m, \varphi^{\ast}(\nu) \rangle = \langle \varphi(m), \nu \rangle \,,\quad m \in M \,,\quad \nu \in N^{\ast} \,$

defineix efectivament una única forma lineal a $M^{\ast}$ . En efecte, del fet que la forma bilineal canònica de $M \times M^{\ast}$ és no degenerada en resulta que, si

$\forall m \in M \,,\, \langle m, \mu_1 \rangle = \langle m, \mu_2 \rangle = \langle \varphi(m), \nu \rangle \,,\quad \mu_{1}, \mu_{2} \in M^{\ast} \,,\quad \nu \in N^{\ast} \,$

$μ 1 - μ 2$ pertany al subespai nul de la forma bilineal i, com que és no degenerada, és zero i $\mu_{1} = \mu_{2} = \varphi^{\ast}(\nu)$ . La linealitat de la forma $\varphi^{\ast}(\nu)$ és, també inmediata:

$\begin{align} \langle m, \varphi^{\ast}\left(\lambda_1\nu_1 + \lambda_2\nu_2\right) \rangle &= \langle \varphi(m), \lambda_1\nu_1 + \lambda_2\nu_2 \rangle = \lambda_1 \langle \varphi(m), \nu_1 \rangle + \lambda_2\langle \varphi(m), \nu_2 \rangle = \\ &= \lambda_1 \langle m, \varphi^{\ast}\left(\nu_1\right) \rangle + \lambda_2\langle m, \varphi\left(\nu_2\right) \rangle = \\ &= \langle m, \lambda_1 \varphi^{\ast}\left(\nu_1\right) + \lambda_2\varphi^{ast}\left(\nu_2\right) \rangle \,,\quad m \in M \,,\quad \nu_{1}, \nu_{2} \in N^{\ast} \,,\quad \lambda_{1}, \lambda_{2} \in A \end{align} \,$

[edita] Unicitat

La mateixa argumentació, recolzada sobre la no degeneració de la forma bilineal canònica sobre $M \times M^{\ast}$ , mostra la unicitat de l'homomorfisme dual: si

$\forall m \in M \,,\, \forall \nu \in N^{\ast} \,,\, \langle m, \varphi_{1}^{\ast}(\nu) \rangle = \langle m, \varphi_{2}^{\ast}(\nu) \rangle = \langle \varphi(m), \nu \rangle \,$

resulta

$\forall m \in M \,,\, \forall \nu \in N^{\ast} \,,\, \langle m, \varphi_{1}^{\ast}(\nu) - \varphi_{2}^{\ast}(\nu) \rangle = 0 \,$

és a dir,

$\forall \nu \in N^{\ast} \,,\, \varphi_{1}^{\ast}(\nu) - \varphi_{2}^{\ast}(\nu) = 0 \,$

i $\varphi_{1}^{\ast} = \varphi_{2}^{\ast}$ .

[edita] Propietats

Les següents propietats són inmediates

$\left(\lambda \varphi + \mu \psi\right)^{\ast} = \lambda \varphi^{\ast} + \mu \psi^{\ast}\,,\quad \lambda, \mu \in A$
$\left(\varphi \circ \psi\right)^{\ast} = \psi^{\ast} \circ \varphi^{\ast}$

[edita] Nuclis i imatges duals

Entre els [[nucli (Matemàtiques)|nuclis i imatges d'homomorfismes duals en resulten les següents relacions de dualitat

$\left(\varphi(M)\right)^{\ast} = N^{\ast}/\ker \varphi^{\ast} \,$

$\left(M/\ker \varphi\right)^{\ast} = \varphi^{\ast}\left(N^{\ast}\right) \,$

perquè les dues formes bilineals

$\varphi(M) \times N^{\ast}/\ker \varphi^{\ast} \longrightarrow A \,$	$M/\ker \varphi \times \varphi^{\ast}\left(N^{\ast}\right) \longrightarrow A \,$
$\langle \varphi(m), \tilde{\nu} \rangle = \langle \varphi(m), \nu \rangle \,$	$\langle \tilde{m}, \varphi^{\ast}(\nu) \rangle = \langle m, \varphi^{\ast}(\nu) \rangle \,$

són no degenerades i, en conseqüència, tenen aquestes relacions de dualitat.

[edita] Aplicacions duals entre espais vectorials de dimensió finita

Si $M$ i $N$ són espais vectorials de dimensió finita, també ho són els duals $M^{\ast}$ i $N^{\ast}$ i els subespais $\ker \varphi$ , $\varphi(M)$ , $\ker \varphi^{\ast}$ , $\varphi^{\ast}\left(N^{\ast}\right)$ i, de les relacions de dualitat ja establertes, en resulta

$\dim M = \dim M^{\ast} \,$	$\dim N = \dim N^{\ast} \,$
$\dim \varphi(M) = \dim N^{\ast}/\ker\varphi^{\ast} \,$	$\dim M/\ker\varphi = \varphi^{\ast}\left(N^{\ast}\right) \,$

que, junt amb els isomorfismes

$M/\ker\varphi = \varphi(M) \,$

$N^{\ast}/\ker\varphi^{\ast} = \varphi^{\ast}(N) \,$

dóna

$\dim \varphi(M) = \dim \varphi^{\ast}\left(N^{\ast}\right) \,$

i dues aplicacions duals, $\varphi$ i $\varphi^{\ast}$ tenen el mateix rang.

[edita] Matrius d'aplicacions duals

Si $M$ , $M^{\ast}$ i $N$ , $N^{\ast}$ són parelles duals d'espais vectorials de dimensió finita, $\varphi: M \longrightarrow N$ i $\varphi^{\ast}: N^{\ast} \longrightarrow M^{\ast}$ són dos homomorfismes duals i

$\mathcal{B}_M = \left\{u_1, u_2, \ldots u_m\right\} \,$	$\mathcal{B}_{M^{\ast}} = \left\{u_1^{\ast}, u_2^{\ast}, \ldots u_m^{\ast}\right\} \,$
$\mathcal{B}_N = \left\{v_1, v_2, \ldots u_n\right\} \,$	$\mathcal{B}_{N^{\ast}} = \left\{v_1^{\ast}, v_2^{\ast}, \ldots v_n^{\ast}\right\} \,$

en són les respectives bases i bases duals, la matriu de l'homomorfisme $\varphi$ consisteix en les $m$ columnes $\varphi(u_j)\,,\,j = 1, \ldots, m$ , cadascuna amb $n$ elements. De la definició de base dual en resulta que l'element de la fila $i$ columna $j$ d'aquesta matriu és:

$\varphi \quad \longleftrightarrow \quad \begin{pmatrix} \langle \varphi\left(u_j\right), v_i^{\ast} \rangle \end{pmatrix} \,$

D'altra banda, si convenim en disposar els elements dels duals com a vectors fila, la matriu de l'homomorfisme dual $\varphi^{\ast}$ consisteix en les $n$ files $\varphi^{\ast}(v_i^{\ast})\,,\,i = 1, \ldots, n$ , cadascuna amb $m$ elements. De la definició de base dual en resulta que l'element de la fila $i$ columna $j$ d'aquesta matriu és:

$\varphi^{\ast} \quad \longleftrightarrow \quad \begin{pmatrix} \langle u_j, \varphi^{\ast}\left(v_i^{\ast}\right) \rangle \end{pmatrix} \,$

i, com que $\langle \varphi\left(u_j\right), v_i^{\ast} \rangle = \langle u_j, \varphi^{\ast}\left(v_i^{\ast}\right) \rangle$ , resulta que ambdues matrius són idèntiques. Però, si convenim en disposar els elements del dual com a vectors columna, aleshores una matriu és la matriu transposada de l'altra.

Això i que els rangs de $\varphi$ i de $\varphi^{\ast}$ són iguals mostra que, en una matriu, el rang per files i el rang per columnes és el mateix i es pot parlar, doncs, del rang d'una matriu.

[edita] Vegeu també

Categoria: Àlgebra