Rang d'una matriu

De Viquipèdia

Taula de continguts

1 Rang per files i rang per columnes
2 El rang d'una matriu
3 Càlcul del rang
4 Vegeu també

[edita] Rang per files i rang per columnes

Per a una matriu de m files i n columnes amb elements en un anell A, el rang per columnes és el rang del conjunt de columnes de la matriu, considerades com a elements del A-mòdul lliure $A^m\,$ .

De manera paral·lela, el rang per files de la matriu és el rang del conjunt de files de la matriu, considerades com a elements del A-mòdul lliure $A^n\,$ .

[edita] El rang d'una matriu

El fet que una mateixa matriu representi un cert homomorfisme $\varphi: A^{n} \longrightarrow A^{m}$ i el seu homomorfisme dual, $\varphi^{\ast}: A^{m} \longrightarrow A^{n}$ i que les imatges d'ambdós homomorfismes tinguin la mateixa dimensió fa que el rang per files i el rang per columnes siguin iguals i, per tant, que es pugui parlar, simplement, del rang de la matriu.

[edita] Càlcul del rang

La manera més senzilla de calcular el rang d'una matriu és fer-ne la reducció mitjançant el mètode de reducció de Gauss. El nombre de columnes independents, fàcil de llegir després del procés, és el rang de la matriu.

Considerem, com a exemple, la matriu 4×4

$A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 & 3 \\ -1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 3 & 6 & 2 & 5 \\ \end{pmatrix} \,$

Una anàlisi acurada mostra que la segona columna és el doble de la primera i que la quarta columna és la suma de la primera i de la tercera. La primera i la tercera columnes són linealment independents i, per tant, el rang d'aquesta matriu ha de ser 2. Això es confirma de manera fefaent després d'aplicar el mètode de reducció de Gauss:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \,$