Rang d'una matriu
De Viquipèdia
Taula de continguts |
[edita] Rang per files i rang per columnes
Per a una matriu de m files i n columnes amb elements en un anell A, el rang per columnes és el rang del conjunt de columnes de la matriu, considerades com a elements del A-mòdul lliure .
De manera paral·lela, el rang per files de la matriu és el rang del conjunt de files de la matriu, considerades com a elements del A-mòdul lliure .
[edita] El rang d'una matriu
El fet que una mateixa matriu representi un cert homomorfisme i el seu homomorfisme dual,
i que les imatges d'ambdós homomorfismes tinguin la mateixa dimensió fa que el rang per files i el rang per columnes siguin iguals i, per tant, que es pugui parlar, simplement, del rang de la matriu.
[edita] Càlcul del rang
La manera més senzilla de calcular el rang d'una matriu és fer-ne la reducció mitjançant el mètode de reducció de Gauss. El nombre de columnes independents, fàcil de llegir després del procés, és el rang de la matriu.
Considerem, com a exemple, la matriu 4×4
|
Una anàlisi acurada mostra que la segona columna és el doble de la primera i que la quarta columna és la suma de la primera i de la tercera. La primera i la tercera columnes són linealment independents i, per tant, el rang d'aquesta matriu ha de ser 2. Això es confirma de manera fefaent després d'aplicar el mètode de reducció de Gauss:
|
tot mostrant clarament les dependències lineals esmentades.