Funció suprajectiva
De Viquipèdia
En matemàtiques, es diu que una funció f entre dos conjunts és suprajectiva, exhaustiva, surjectiva o epijectiva quan tot element del conjunt d'arribada és imatge d'almenys un element del domini. És a dir, els valors de la funció abasten completament el codomini; això és: per a cada element y del codomini, hi ha almenys un x del domini tal que f(x) = y.
Dit de un altre forma, una funció f: X → Y és suprajectiva si i només si el seu recorregut f(X) és igual al seu codomini Y.
Les funcions exhaustives que també són injectives s'anomenen funcions bijectives.
Taula de continguts |
[edita] Exemples
- Per a qualsevol conjunt X, la funció identitat idX de X és suprajectiva.
- La funció f: ℝ → ℝ definida per f(x) = 2x + 1 és suprajectiva, perquè per a cada nombre real y es té f(x) = y on x és (y - 1)/2.
- La funció logaritme natural ln: (0,+∞) → ℝ és suprajectiva.
- La funció f: ℤ → {0,1,2,3} definida per f(x) = x mòdul 4 és suprajectiva.
- La funció g: ℝ → ℝ definida per g(x) = x² no és suprajectiva, perquè (per exemple) no hi ha cap nombre real x tal que x² = −1. Ara bé, si el codomini es defineix com [0,+∞), llavors g és suprajectiva.
[edita] Obtenció de funcions exhaustives
En general, sigui f: X → Y una funció no necessàriament exhaustiva sempre podem definir la funció g : X → f(X) amb g(x)=f(x) per a tot x de X que sí que serà exhaustiva, ja que haurem definit com a conjunt d'arribada de g el seu recorregut.
Aquest procés s'utilitza per a invertir les funcions injectives que no són exhaustives, convertint-les així en bijeccions. El procés és: sigui f: X → Y una funció injectiva existirà sempre una funció f-1: f(X) → X tal que f-1(f(x))=x per a tot element x de X.
[edita] Per cada funció suprajectiva, sempre hi ha una funció que pot ser "revertida" per aquesta funció suprajectiva
Cada funció amb inversa per la dreta és una funció suprajectiva. El recíproc és equivalent a l’axioma d’elecció. Es a dir, acceptant l’elecció, una funció f: X → Y és suprajectiva si i només si hi ha una funció g: Y → X tal que, per cada 
(g pot ser desfeta per f)
Es a dir, una funció g tal que f o g és igual a la funció identitat de Y (d’acord amb la definició de funció inversa).
Fixeu-vos que pot ser que g no sigui una inversa completa de f perquè la composició en l’altre ordre, g o f, pot no ser la identitat de X. En altres paraules, f pot desfer o "revertir" g, però no necessàriament pot ser revertida per aquesta. Les funcions suprajectives no sempre són invertibles (bijectives).
Per exemple, a la ilustració, hi ha alguna funció g tal que g(C) = 4. També hi ha alguna funció f tal que f(4) = C. No importa que g(C) també pugui ser igual a 3; només importa que f "reverteix" g.
[edita] Altres propietats
- Si f i g són totes dues suprajectives, llavors f o g és suprajectiva.
- Si f o g és suprajectiva, llavors f és suprajectiva (però g pot no ser-ho).
- f: X → Y és suprajectiva si i només si, donades dues funcions qualsevol g,h:Y → Z, sempre que g o f = h o f, llavors g = h. En altres paraules, Les funcions suprajectives són precisament els epimorfismes de la categoria Conjunt de conjunts.
- Si f: X → Y és suprajectiva i B és un [[subconjunt] de Y, llavors f(f −1(B)) = B. Es a dir, B pot ser recuperat a partir de la seva antiimatge f −1(B).
- Per a qualsevol funció h: X → Z hi ha una funció suprajectiva f:X → Y i una funció injectiva g:Y → Z tals que h = g o f. Per veure-ho, es defineix Y els conjunts h −1(z) on z és de Z. Aquests conjunts ón disjunts i parteixen X. Per tant f porta cada x cap a l’element de Y que el conté, i g porta cada element de Y cap al punt de Z al qual h envia els seus punts. Per tant f és suprajectiva donat que és una projecció, i g és injectiva per definició.
- A base de col·lapsar tots els arguments que donen la mateixa imatge, tota funció suprajectiva indueix una bijecció definida sobre el quocient del seu domini. De forma més precisa, cada funció suprajectiva f : A → B pot ser descomposta en la composició de una projecció amb una bijecció tal com segueix. Sia A/~ les classes de equivalència de A baix la següent relació d’equivalència: x ~ y si i només si f(x) = f(y). De forma equivalent, A/~ és el conjunt de totes les antiimatges a través de f. Sia P(~) : A → A/~ la aplicació projecció la qual envia cada x de A a la seva classe d’equivalència [x]~, i sia fP : A/~ → B la funció donada per fP([x]~) = f(x). Llavors f = fP o P(~).
- Si f: X → Y és una funció suprajectiva, llavors X té com a mínim tants elements com Y, en el sentit del nombre cardinal.
- Si tots dos X i Y són finits amb el mateix nombre d’elements, llavors f : X → Y és suprajectiva si i només si f és injectiva.
[edita] Punt de vista de la Teoria de categories
En el llenguatge de la teoria de categories, les funcions suprajectives són precisament els epimorfismes de la categoria de conjunts.
