[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Espai afí - Viquipèdia

Espai afí

De Viquipèdia

Històricament, la noció d'espai afí neix del problema creat per l'aparició de noves geometries, perfectament coherents, però diferents a la d'Euclides, i del seu axioma del paral·lelisme. Per aconseguir la seva l'harmonització, va caldre redefinir el concepte d'espai euclidià, excloent-hi el concepte de distància, i tot el que això representa, com longitud i angle. El resultat de tot això, va ser una geometria afí, on l'espai apareix com una estructura algebraica, molt propera a espai vectorial, del que n'ha estat alliberat posteriorment, donant lloc a l'àlgebra lineal.

Taula de continguts

[edita] Definicions

Un espai afí sobre un cos \mathbb{K}\, és el triplet (A, E,\varphi )\,, on:

  • E\, és un espai vectorial sobre el cos \mathbb{K}\,, en el que estan definides les operacions +\, i \times\,, amb els element neutres 0 i 1 respectivament.
  • \varphi\, és una aplicació \varphi :A\times A\rightarrow E\,, que compleix:

1.-\varphi _{p}:A\rightarrow E\,, tal que \varphi _{p}(q)=\varphi (p,q)\,, és una aplicació bijectiva \forall p \in A\,

2.-\varphi (p,q)+\varphi (q,r)=\varphi (p,r)\,, \forall p, q, r \in A\,.

[edita] Notació

Els elements del conjunt A\, s'anomenaran punts.

Els elements de l'espai vectorial E\, s'anomenaran vectors, i s'escriuran \varphi (p,q)=\vec{pq}\,. O sigui que la segona condició anterior, es podrà escriure: \vec{pq}+\vec{qr}=\vec{pr}\,.

E\, és l'espai vectorial associat a A\,.

Es defineix la dimensió de A\, com la dimensió de E\,.

[edita] Propietats elementals

  • \overrightarrow{pq}=\overrightarrow{0}\Longleftrightarrow p=q\,
  • \overrightarrow{pq}=-\overrightarrow{qp}\,
  • \overrightarrow{pq}=\overrightarrow{rs}\Longleftrightarrow \overrightarrow{pr}=\overrightarrow{qs}\,

[edita] Exemples d'espais afins

  • L'espai afí definit pel triplet ( \mathbb{R}^2,\mathbb{R}^2,\varphi )\, on definim \varphi\, per \varphi ((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})\,.

És l'espai afí de dimensió 2, o sigui, el pla afí.

  • De forma més general, si \mathbb{K}\, és un cos qualsevol, l'espai afí canònic sobre \mathbb{K}\, de dimensió n és el triplet:
\mathcal A^n ( \mathbb K ) = ( \mathbb K^n , \mathbb K^n , \varphi ) \,

on \mathbb K^n \, és vist a la vegada com un espai de punts i un \mathbb K \,-espai vectorial, i l'aplicació \varphi\, està definida per:

\varphi ( ( x_1 , x_2 , \dots , x_n ) , ( y_1 , y_2 , \dots , y_n ) )= ( y_1 - x_1 , y_2 - x_2 , \dots , y_n - x_n )\,

[edita] Varietats lineals

Sigui (A,E,\varphi )\, un espai afí. Sigui a \in A\, un punt qualsevol, i F\, un subespai vectorial de E\,. Es diu varietat lineal que passa per a\, i té la direcció de F\,, el subconjunt de A\,

\left\{ b\in A|\overrightarrow{ab}\in F\right\} \,

Aquesta varietat lineal es pot designar per: a+F=\left\{ b\in A;b=a+u,u\in F\right\}\,.

[edita] Noció de paral·lelisme

En un espai afí (A,E,\varphi )\,, dues varietats lineals a+F, b+G\, són paral·leles si F\sub G\,o G\sub F\,.

Cinquè axioma d'Euclides : En un espai afí , donat un punt a\, i una direcció qualsevol F\,, existeix una única varietat que passa pel punt a\,, i té a F\, com a direcció.