Catenària

De Viquipèdia

Catenària és la corba que descriu una cadena sospesa pels seus extrems i que es troba sotmesa a un camp gravitatori uniforme. La paraula deriva del llatí catenarĭus, propi de la cadena. És la corba que s'observa, per exemple, formen els cables de l'estesa elèctrica d'alta tensió entre dos torres de suport.

Per extensió, en matemàtiques es denomina catenària a la corba que adopta una cadena, corda o cable ideal perfectament flexible, con massa distribuïda uniformement per unitat de longitud, sospesa pels seus extrems i sotmesa a l'acció d'un camp gravitatori uniforme. La involuta de la catenària és la tractriu.

Els primers matemàtics que van abordar el problema suposaren que la corba era una paràbola. Huygens, als 17 anys, demostrà que no ho era, pero no trobà l'equació de la catenària. L'equació fou obtinguda per Gottfried Leibniz, Christiaan Huygens i Johann Bernoulli el 1691, en resposta al desafiament plantejat per Jakob Bernoulli. Huygens fou el primer en utilitzar el terme catenària en una carta dirigida a Leibniz el 1690, i David Gregory escriví, aquell mateix any, un tractat sobre la corba.

L'equació de la catenària, prenent el seu mínim en el punt (0,a) és:

En la qual:

On és la component horitzontal de la tensió, que és constant, i P és el pes per unitat de longitud del fil.

Si es desenvolupa en sèries de Taylor la funció

s'obté

que correspon a l'equació d'una paràbola més un termini de quart ordre. És per aquest motiu que les gràfiques són tan semblants a l'entorn de zero.

[edita] Altres relacions importants

• Longitud de l'arc:

Amb l'origen d'arcs en el mínim resulta que:

• Tensió del fil:

La tensió total és

[edita] Aplicacions

Una corba catenària invertida és el traçat perfecte per a un arc en l'arquitectura, forma que fou aplicada, entre d'altres i fonamentalment, per Antoni Gaudí. La forma que pren un cable que està estès de dos pals a la mateixa altura és la d'una catenària. Tanmateix, la corba catenària és la que descriu una corda, cable o fil, de longitud finita i densitat constant sostès per dos punts; per exemple, és la corba que descriu un cable elèctric entre dos pals o suports.

[edita] Enllaços externs

• La corba catenària
• Índex de corbes famoses (en anglès)