Matrice invertibile

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In matematica, una matrice quadrata $A_{n \times n}$ è detta invertibile se esiste una matrice $B_{n \times n}$ tale che:

A B = B A = I n

dove $I n$ denota la matrice identità ${n \times n}$ e la moltiplicazione usata è l'ordinaria moltiplicazione di matrici.

Se è questo il caso, allora la matrice $B$ è univocamente determinata da $A$ ed è chiamata l'inversa di $A$ , indicata con $A - 1$ .

Nella definizione, le matrici A e B hanno valori in un anello con unità.

Indice

1 Teorema della matrice invertibile
2 Ulteriori proprietà e fatti
3 Calcolo della matrice inversa
- 3.1 Metodo della matrice dei cofattori
  - 3.1.1 Esempi
4 Voci correlate

[modifica] Teorema della matrice invertibile

Una matrice $A$ è singolare se ha determinante uguale a zero. Tra le affermazioni elencate sotto, la più importante dice che se $A$ ha valori in un campo, come ad esempio quello dei numeri reali o complessi, la matrice è invertibile se e solo se non è singolare.

Sia $A$ una matrice quadrata ${n \times n}$ con valori in un campo $K$ (ad esempio, il campo dei numeri reali o complessi).

Le seguenti affermazioni sono equivalenti e caratterizzano una matrice A invertibile:

Esiste una matrice $B_{n \times n}$ tale che $B A = I n$
Esiste una matrice $B_{n \times n}$ tale che $A B = I n$
Il determinante non è nullo: $\det A \neq 0$
Il rango di $A$ è $n$
La trasposta $A T$ è una matrice invertibile.
L'equazione $A x = 0$ (con $x$ e $0$ vettori colonna in $K n$ ) ha solamente la soluzione banale $x = 0$
L'equazione $A x = b$ ha al più una soluzione per ogni $b$ in $K n$
L'equazione $A x = b$ ha almeno una soluzione per ogni $b$ in $K n$
L'equazione $A x = b$ ha esattamente una soluzione per ogni $b$ in $K n$
Le colonne di $A$ sono linearmente indipendenti.
Le colonne di $A$ generano $K n$
Le colonne di $A$ formano una base di $K n$
L'applicazione lineare $L A$ da $K n$ in $K n$ data da

$L_A:x \mapsto Ax$

è iniettiva
$L A$ è suriettiva
$L A$ è biiettiva
Il numero 0 non è un autovalore di $A$
$A$ è trasformabile nella matrice identità $I n$ tramite l'Algoritmo di Gauss-Jordan
$A$ è trasformabile mediante Algoritmo di Gauss-Jordan in una matrice con $n$ pivot

[modifica] Ulteriori proprietà e fatti

[modifica] Gruppo generale lineare

L'inversa di una matrice invertibile $A$ è essa stessa invertibile, con

$(A - 1) - 1 = A$
Il prodotto di due matrici invertibili $A_{n\times n}$ e $B_{n\times n}$ è ancora invertibile, con inversa data da

$(A B) - 1 = B - 1 A - 1$

Come conseguenza delle proprietà precedenti, l'insieme delle matrici invertibili $n\times n$ costituisce un gruppo con la moltiplicazione, noto come il gruppo generale lineare GL( $n$ ).

Poiché le matrici invertibili formano un gruppo, possono in molti casi essere manipolate come se fossero dei numeri reali. Ad esempio:

Se $A$ e $B$ sono invertibili, l'equazione $A X = B$ ha una sola soluzione, data da $X = A - 1 B$ . Analogamente $X A = B$ ha come unica soluzione $X = B A - 1$ .

[modifica] Una matrice casuale è invertibile

Parlando in modo approssimativo, "quasi tutte" le matrici sono invertibili. Sul campo dei numeri reali, questa affermazione può essere precisata nel modo seguente: l'insieme di tutte le matrici $n \times n$ è uno spazio vettoriale isomorfo a $\mathbf R^{n^2}$ , e il sottoinsieme delle matrici non invertibili è un insieme nullo, cioè ha misura di Lebesgue zero (perché è l'insieme degli zeri della funzione determinante, che è un polinomio). Intuitivamente, questo vuol dire che la probabilità che una matrice quadrata casuale a valori reali sia non-invertibile è zero.

[modifica] Il teorema della matrice invertibile in un anello

Il teorema della matrice invertibile generalmente non vale in un anello commutativo. In questo caso, la matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è una unità, ossia è invertibile, in questo anello.

[modifica] Sistemi lineari

Se A è invertibile, l'equazione AX = B ha una sola soluzione, data da X = A^{− 1}B. Analogamente XA = B ha come unica soluzione X = BA^{− 1}. Nel caso particolare in cui X e B abbiano dimensioni ${n \times 1}$ , ovvero siano vettori colonna, l'equazione AX = B rappresenta un sistema lineare, dove A è la matrice dei coefficienti. Un ragionamento analogo vale anche per XA = B, ma qui X e B devono essere vettori riga.

[modifica] Calcolo della matrice inversa

Esistono vari metodi per il calcolo dell'inversa di una matrice quadrata invertibile $A$ . Tra i metodi principali:

Metodo della Matrice dei cofattori o del Complemento algebrico
Algoritmo di Gauss-Jordan
Metodo delle potenze inverse

[modifica] Metodo della matrice dei cofattori

Il metodo della matrice dei cofattori risulta particolarmente rapido quando non interessa calcolare tutti gli elementi della matrice inversa, e quando la matrice è di dimensione contenuta. Inoltre, la presenza di variabili letterali tra gli elementi non aumenta di molto la complessità del calcolo.

Data una matrice A quadrata e invertibile

$A = \begin{pmatrix} x_{1,1} & \ldots & x_{1,j} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{i,1} & \ldots & x_{i,j} \\ \end{pmatrix}$

la sua inversa $A - 1$ è la seguente:

$A^{-1} = \frac{1}{\mathrm{det}(A)} \begin{pmatrix} \mathrm{cof}(A,x_{1,1}) & \ldots & \mathrm{cof}(A,x_{1,j}) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathrm{cof}(A,x_{i,1}) & \ldots & \mathrm{cof}(A,x_{i,j}) \\ \end{pmatrix}^{T}$

dove la notazione $det(A)$ indica il determinante di A e l'esponente T indica l'operazione di trasposizione righe/colonne; la matrice

$\begin{pmatrix} \mathrm{cof}(A,x_{1,1}) & \ldots & \mathrm{cof}(A,x_{1,j}) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathrm{cof}(A,x_{i,1}) & \ldots & \mathrm{cof}(A,x_{i,j}) \\ \end{pmatrix}$

è la matrice dei cofattori (o dei complementi algebrici). Il cofattore in posizione $i, j$ è definito come:

$\mathrm{cof}(A,x_{i,j}) = (-1)^{i+j} \cdot \mathrm{det}(\mathrm{minor}(A,i,j))$

dove minor $(A, i, j)$ rappresenta il minore di A che si ottiene cancellando la riga i-esima e la colonna j-esima.

Il segno $( - 1) i + j$ varia nel modo seguente:

$\begin{pmatrix} + & - & + & \ldots\\ - & + & - & \ldots\\ + & - & + & \ldots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}$

[modifica] Esempi

La matrice inversa di una matrice 2 per 2 invertibile

$\begin{pmatrix} {{a}} & {{b}}\\ {{c}} & {{d}} \end{pmatrix}$

è la seguente

$\begin{pmatrix} \frac{{d}}{{a}{d} - {b}{c}} & \frac{{-b}}{{a }{d} - {b}{c}}\\ \frac{{-c}}{{a}{d} -{b}{c}} & \frac{{a}} {{a}{d} - {b}{c}} \end{pmatrix}$

Data invece una matrice 3 per 3 invertibile

$A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{pmatrix}$ ,

la sua inversa è la seguente

$\frac{1}{\mathrm{det}(A)} \begin{pmatrix} +\left| \begin{matrix} A_{22} & A_{23} \\ A_{32} & A_{33} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{32} & A_{33} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{22} & A_{23} \end{matrix} \right| \\ & & \\ -\left| \begin{matrix} A_{21} & A_{23} \\ A_{31} & A_{33} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{31} & A_{33} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{21} & A_{23} \end{matrix} \right| \\ & & \\ +\left| \begin{matrix} A_{21} & A_{22} \\ A_{31} & A_{32} \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{31} & A_{32} \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix} \right| \end{pmatrix}$

dove

$\left| \begin{matrix} A_{ij} & A_{kl} \\ A_{mn} & A_{op} \end{matrix} \right|=\det\left( \begin{matrix} A_{ij} & A_{kl} \\ A_{mn} & A_{op} \end{matrix} \right).$