Web Analytics Made Easy - Statcounter

[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

S??rie harm??nica - Viquip??dia

S??rie harm??nica

De Viquip??dia

Hudebn?? s??rie harm??nica
Hudebn?? s??rie harm??nica

En matem??tiques, la s??rie harm??nica ??s la s??rie infinita:

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots

S'anomena harm??nica perqu?? les longituds d'ona dels harm??nics d'una corda vibrant s??n proporcionals a 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... . ??s una s??rie divergent (tot i que divergeix molt lentament). La primera demostraci?? de la seva diverg??ncia fou presentada per Nicole d'Oresme al segle XIV, i es basa en notar que el 3r i 4t termes, 1/3 + 1/4, sumen m??s que 1/2, que el 5??, 6??, 7?? i 8?? termes, 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8, tamb?? sumen m??s que 1/2, etc.; ??s a dir, que prenent 2, 4, 8, 16, ... termes sempre es poden formar grups de valor superior a 1/2; per tant, la s??rie divergeix. Una altra demostraci??, molt relacionada amb la d'Oresme, ??s notar que la s??rie harm??nica ??s superior, terme a terme, a la s??rie

\sum_{k=1}^\infty 2^{-\lceil \log_2 k \rceil} \! = 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \frac{1}{16}\cdots
= \quad\quad 1 +\ \frac{1}{2}\ +\ \quad\frac{1}{2} \ \quad+ \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \ \quad\ \cdots

La s??rie harm??nica alterna definida com:

\sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots = \ln 2

??s convergent a ln 2, de fet conseq????ncia de la s??rie de Taylor del logaritme natural.

La s??rie harm??nica generalitzada (o s??rie p) ??s qualsevol s??rie de la forma:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}

essent p un nombre real positiu. La s??rie ??s convergent si p > 1 i divergent en els altres casos. Quan p = 1 la s??rie ??s precisament la s??rie harm??nica. Quan p > 1 la suma de la s??rie ??s ??(p), ??s a dir, la funci?? zeta de Riemann avaluada a p.