Sèrie harmònica
De Viquipèdia
En matemàtiques, la sèrie harmònica és la sèrie infinita:
S'anomena harmònica perquè les longituds d'ona dels harmònics d'una corda vibrant són proporcionals a 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... . És una sèrie divergent (tot i que divergeix molt lentament). La primera demostració de la seva divergència fou presentada per Nicole d'Oresme al segle XIV, i es basa en notar que el 3r i 4t termes, 1/3 + 1/4, sumen més que 1/2, que el 5è, 6è, 7è i 8è termes, 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8, també sumen més que 1/2, etc.; és a dir, que prenent 2, 4, 8, 16, ... termes sempre es poden formar grups de valor superior a 1/2; per tant, la sèrie divergeix. Una altra demostració, molt relacionada amb la d'Oresme, és notar que la sèrie harmònica és superior, terme a terme, a la sèrie
![\sum_{k=1}^\infty 2^{-\lceil \log_2 k \rceil} \! =
1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right]
+ \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \frac{1}{16}\cdots](../../../../math/2/7/5/2758cb036aea30bab92c923077153e27.png)
La sèrie harmònica alterna definida com:
és convergent a ln 2, de fet conseqüència de la sèrie de Taylor del logaritme natural.
La sèrie harmònica generalitzada (o sèrie p) és qualsevol sèrie de la forma:
essent p un nombre real positiu. La sèrie és convergent si p > 1 i divergent en els altres casos. Quan p = 1 la sèrie és precisament la sèrie harmònica. Quan p > 1 la suma de la sèrie és ζ(p), és a dir, la funció zeta de Riemann avaluada a p.
