QPSK

De Viquip??dia

Diagrama de constel??laci??

QPSK, en angl??s Quadrature Phase-Shift Keying (codificaci?? per canvi de fase en quadratura), ??s una particularitzaci?? de la modulaci?? digital per despla??ament de fase o PSK (Phase-Shift Keying). Es tracta d???una forma de modulaci?? angular consistent a fer variar la fase de la portadora entre un nombre de valors discrets finits que representen el diversos s??mbols de la modulaci??, cadascun dels quals est?? codificat en Codi Gray per tal de minimitzar la probabilitat d???error de bit.

[edita] Definicions

Per definir matem??ticament les probabilitats d'error, necessitem algunes definicions:

$E b$ = Energia de bit
$E s$ = Energia de s??mbol = $2 E b$ (en QPSK es codifiquen 2 bits per s??mbol)
$T b$ = Temps de bit
$T s$ = Temps de s??mbol = $2 T b$
$N 0 / 2$ = Densitat espectral de pot??ncia de soroll (W/Hz)
$P b$ = Probabilitat d'error de bit
$P s$ = Probabilitat d'error de s??mbol

$Q (x)$ ens d??na la probabilitat que $x$ estigui per sota de la cua cap l'infinit positiu de la funci?? de densitat de probabilitat Gaussiana. ??s una versi?? escalada de la funci?? d'error complement??ria:

$Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{x}^{\infty}e^{-t^{2}/2}dt = \frac{1}{2}\,\operatorname{erfc}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right),\ x\geq{}0$ .

Els errors considerats s??n els que apareixen sota un entorn amb soroll blanc gaussi?? aditiu.

[edita] Domini temporal

En el cas concret de QPSK tenim quatre possibles valors de fase ?? diferents que representen els quatre s??mbols de la modulaci??. L???expressi?? anal??tica d???un sol s??mbol ??s la seg??ent, on generalment pren els valors: 45??, 135??, 225?? i 315??.

$s_i(t) = \sqrt{\frac{2E_s}{T}} \cos \left ( 2 \pi f_c t + \Theta_i \right ), i = 1, 2, 3, 4$

$\Theta_{i} = (2i - 1) \frac{\pi}{4}$

Els s??mbols s???envien seq??encialment limitant-los en temps al multiplicar-los pel pols conformador $p (t)$ , normalment un pols rectangular de duraci?? el temps de s??mbol.

$s(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty s_k(t) p(t-kT_s)$

Com veiem, la modulaci?? QPSK ??s equivalent a la 4-QAM.

L'aspecte d'aquesta modulaci?? en el domini temporal ??s el seg??ent:

QPSK en el temps. El flux de dades binaries es mostra al llarg de l'eix temporal. Les components en-fase (I) i en quadratura (Q) amb la seua assignaci?? de bits es mostren a la part superior i la senyal combinada resultant a la part inferior. Es poden observar els canvis de fase abruptes en alguns dels canvis de s??mbol.

Densitat espectral de pot??ncia d'un senyal modulat QPSK.

R b

representa la velocitat de transmissi?? de bit i es correspon amb el temps de bit i amb el temps de s??mbol mitjan??ant la relaci??: $R_b=\frac{1}{T_b}=\frac{2}{T_s}$

[edita] Domini freq??encial

Un dels seus principals avantatges respecte a la modulaci?? PSK m??s simple (BPSK) ??s que ofereix la mateixa efici??ncia de pot??ncia, utilitzant la meitat d'ample de banda, el que ??s molt important en la transmissi?? de dades per sat??l??lit. Aix?? ??s degut que BPSK nom??s codifica 1 bit per s??mbol, i QPSK en codifica 2.

Aquesta ??s l???aspecte de la densitat espectral de pot??ncia de qualsevol senyal PSK independentment del n??mero de s??mbols, ja que els s??mbols varien nom??s en fase conservant l???envoltant, l???energia i la freq????ncia.

$S_s(f) = E_s \left[ \left|P(f-f_c)\right|^2 + \left|P(f+f_c)\right|^2 \right]$

on $P (f)$ ??s la transformada de Fourier del pols conformador $p (t)$ .

El fet que es mantingui l???amplitud dels s??mbols simplifica la implementaci?? del receptor, permetent que els amplificadors no tinguin una resposta lineal i per tant puguin ser de major qualitat.

[edita] Probabilitat d'error

Cada s??mbol ??s codificat amb dos bits seguint codificaci?? Gray de forma que el s??mbols adjacents nom??s difereixen en un bit, minimitzant aix?? la probabilitat d???error de bit, i per tant la BER (Bit Error Rate), sense necessitat de reduir la probabilitat d???error de s??mbol.

Podem interpretar la modulaci?? QPSK com dues portadores modulades independentment en quadratura: es modula la component en fase a partir dels bits parells i la component en quadratura amb els senars (o a l???inrev??s). Per tant, la modulaci?? ??s equivalent a dues modulacions BPSK, una per cada portadora.

Amb aquesta interpretaci??, es pot concloure que la probabilitat d???error de bit ??s la mateixa que en BPSK:

$P_b = Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right)$