[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Nilpotent - Viquipèdia

Nilpotent

De Viquipèdia

En matemàtiques, un element x d'un anell R es diu que és nilpotent si existeix algun enter positiu n tal que xn = 0.

Taula de continguts

[edita] Exemples

A = \begin{pmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{pmatrix}
és nilpotent ja que A3 = 0. Veure matriu nilpotent per a més informació.
  • En l'anell factorial Z/9Z, la classe del 3 és nilpotent ja que 32 és congruent amb 0 mòdul 9.
  • Suposem que dos elements a,b d'un anell no commutatiu R satisfan ab=0. Aleshores, l'element c=ba és nilpotent (si és no nul) ja que c2=(ba)2=b(ab)a=0. Un exemple amb matrius és:
A_1 = \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&1 \end{pmatrix}, \;\; A_2 =\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix} \ .
Es pot veure que A_1A_2=0,\; A_2A_1=A_2 .

[edita] Propietats

Cap element nilpotent pot ser una unitat (exceptr en l'anell trivial {0} en el que únicament existeix un únic element 0 = 1). Tots els elements nilpotents són divisors de zero.

Una matriu cuadrada n dimensional A amb elements en un cos és nilpotent si i només si el seu polinomi característic és Tn, la qual cosa succeeix si i només si An = 0.

Els elements nilpotents d'un anell commutatiu formen un ideal; aquest fet és conseqüència del teorema del binomi. Aquest ideal és el nilradical de l'anell. Cada element nilpotent d'un anell commutatiu està contingut en tot ideal primer de l'anell, i de fet la intersecció de tots els anells primers és el nilradical.

Si x és nilpotent, aleshores 1 − x és una unitat, ja que xn = 0 implica

(1 − x) (1 + x + x2 + ... + xn−1) = 1 − xn = 1.

[edita] Nilpotencia en física

Un operador Q que satisfà Q2 = 0 és nilpotent. El BRST charge és un exemple molt important en física.

Com que els operadors lineals formen una àlgebra associativa i per tant un anell, aquest és un cas especial de la definició inicial. En general, des del punt de vista de la definició anterior, un operador Q és nilpotent si existeix n∈N tal que Qn=o (la funció zero). Per tant, una aplicació lineal és nilpotent si i només si està definida per una matriu nilpotent en alguna base. Un altre exemple és la derivada exterior (una altra vegada amb n=2). Ambós estan relacionades, a través de la supersimetria i la teoria de Morse, com va ser provat per Edward Witten.

El camp electromagnètic d'una ona plana sense fonts és nilpotent quan s'expressa en el llenguatge de l'àlgebra de l'espai fisic.

[edita] Referencies

  • E Witten, Supersymmetry and Morse theory. J.Diff.Geom.17:661-692,1982.
  • A. Rogers, The topological particle and Morse theory, Class. Quantum Grav. 17:3703-3714,2000.