Ideal (matemàtiques)
De Viquipèdia
Un ideal d'un anell A és un subconjunt I d'elements de A que és tancat respecte a operacions lineals i que compleix una sèrie de condicions que detallarem a continuació. Per permetre l'aplicació a anells no commutatius, es defineixen ideals per l'esquerra i ideals per la dreta. Els ideals per les dues bandes (d'anells commutatius, doncs) s'anomenen simplement ideals.
Definim doncs, ideal per l'esquerra:
- l'element neutre de A pertany a I,
- per a tot a, b de I, es compleix que a + b pertany a I,
- per a tot a de I i r de A, es compleix que ra pertany a I.
I també ideal per la dreta:
- l'element neutre de A pertany a I,
- per a tot a, b de I, es compleix que a + b pertany a I,
- per a tot a de I i r de A, es compleix que ar pertany a I.
Fixem-nos que l'única diferència està en la darrera condició, on intervé l'operació producte (·) i que en ambdós casos les dues primeres condicions ens imposen la condició que I sigui un subconjunt de A amb l'operació suma (+).
El concepte d'ideal fou proposat per primera vegada per Richard Dedekind el 1876 a la tercera edició del seu llibre Vorlesungen über Zahlentheorie ("Lliçons sobre teoria dels nombres"). Era una generalització del concepte de nombre ideal desenvolupat per Ernst Kummer. Més endavant la idea fou ampliada per David Hilbert i especialment Emmy Noether.
[edita] Exemples
- Els nombres enters parells formen un ideal de l'anell dels enters (Z); normalment es representa com 2Z.
- El conjunt de tots els polinomis de coeficients reals divisibles pel polinomi x2 + 1 és un ideal de l'anell dels polinomis.
- El conjunt de les |matrius n×n en les quals l'última columna és zero, forma un ideal per l'esquerra de l'anell de les matrius n×n, mentre que si l'última fila és zero, tenim un ideal per la dreta.
