Modulació d'amplitud en quadratura

De Viquipèdia

Taula de continguts

1 Introducció
2 Analògic
3 Estructura del Transmissor Ideal
4 Receptor
5 Digital
- 5.1 Realització
- 5.2 QAM rectangular
6 Enllaços externs
7 Referències bibliogràfiques

[edita] Introducció

La modulació QAM és un esquema de modulació multi-nivell, on s'envia informació canviant (modulant) l'amplitud de dos senyals portadores. Aquests dos senyals, habitualment sinusoïdals, estan desfasats 90º l'un respecte de l'altre i s'anomenen senyals en quadratura, heus aquí el nom del sistema. Com a tot sistema de modulació, QAM envia informació canviant alguns aspectes d'un senyal portador (habitualment sinusoïdal), en correspondència a un senyal de dades. En aquest cas es desfasen dos senyals entre ells 90º (en quadratura) i se'n modula l'amplitud d'ambdós, per representar la senyal de dades que volem transmetre. Phase Modulation (PM = Modulació en Fase) i Phase-Shift Keying (PSK) poden ser considerades com a casos especials de QAM, on l'amplitud es manté constant i només es modula la Fase del senyal. Això també pot ser aplicat a la Modulació en Freqüència (FM) i a la Frequency-Shift Keying (FSK), en aquest cas s'haurien de considerar casos especials de modulació en fase.

[edita] Analògic

Quan transmetem dos senyals modulant-los amb QAM, el senyal transmès que obtenim és del següent tipus:

$\ s(t) = I (t) \cos (2 \pi f_0 t) + Q (t) \sin (2 \pi f_0 t)$

On $I (t)$ i $Q (t)$ són els senyals modulats i $f 0$ és la freqüència del portador.

En el receptor aquests dos senyals modulats poden ser demodulats fent servir un demodulador coherent. Així un receptor multiplica el senyal rebut de forma independent per un sinus i un cosinus per a produir les estimacions de $I (t)$ i $Q (t)$ respectivament.

Degut a la propietat d'ortogonalitat del senyal portador és possible detectar els senyals modulats de manera independent.

En el cas ideal $I (t)$ és demodulat multiplicant el senyal transmès per un senyal cosinus.

$\begin{align} r_i(t) = & s(t) \cos (2 \pi f_0 t) \\ = & I(t) \cos (2 \pi f_0 t)\cos (2 \pi f_0 t) + Q(t) \sin (2 \pi f_0 t)\cos (2 \pi f_0 t) \end{align}$

Emprant les propietats trigonomètriques podem dir que:

$\begin{align} r_i(t) = & \frac{1}{2} I(t) \left[1 + \cos (4 \pi f_0 t)\right] + \frac{1}{2} Q(t) \sin (4 \pi f_0 t) \\ = & \frac{1}{2} I(t) + \frac{1}{2} [I(t) \cos (4 \pi f_0 t) + Q(t) \sin (4 \pi f_0 t)] \end{align}$

El filtre Pas Baix $r i (t)$ elimina les altes freqüències (que contenen $(4π f 0 t)$ ), deixant únicament el terme $I (t)$ , que no es veu afectat per $Q (t)$ . De manera similar podem multiplicar $s (t)$ per un sinus i un filtre pas baix per obtenir la component $Q (t)$ .

És important saber que, fins ara, donem per suposat la fase del senyal rebut es coneguda per el receptor. Si la Fase de demodulació és, per poc que sigui, incorrecta obtindrem una interferència entre les senyals modulades.

Aquesta qüestió de “sincronització de la portadora” en recepció ha de ser resolta per els sistemes QAM. El demodulador coherent ha d'estar exactament en Fase amb el senyal rebut, de no ser així els senyals $I (t)$ $Q (t)$ no poden ser tractats de forma independent.

Per exemple: els sistemes de televisió analògica transmeten un senyal de “burst” de la subportadora de color després de cada pols de sincronització horitzontal per a mantenir una referència.

La modulació QAM és emprada en sistemes NTSC i PAL, on $I (t)$ i $Q (t)$ transporten els senyals de Croma (color). Una versió d'aquesta modulació es fa servir per a transmetre els senyals d'àudio estèreo en el format AM.

[edita] Estructura del Transmissor Ideal

transmissor ideal QAM

El següent dibuix mostra l'estructura ideal d'un transmissor ideal per a QAM, amb una freqüència portadora $f 0$ i una freqüència de resposta Hz per al filtre del transmissor:

Primer, el flux de bits a transmetre es divideix en dues parts iguals: aquest procés genera dos senyals independents per a ser transmesos. Es codifiquen de forma separada, de la mateixa forma que en els sistemes ASK, aleshores un dels canals es multiplica per un senyal cosinus, així s'obté la “senyal en fase”, mentre que l'altre canal es multiplicarà per un senyal sinus, obtenint el “senyal en quadratura”. D'aquesta forma obtenim una diferència en fase de 90º entre els dos canals. Un cop modulats sumem ambdós senyals i els enviem a través del canal.

El senyal transmès pot tenir la següent expressió:

$s(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left[ v_c [n] \cdot h_t (t - n T_s) \cos (2 \pi f_0 t) - v_s [n] \cdot h_t (t - n T_s) \sin (2 \pi f_0 t) \right],$

On $V c [n]$ i $V s [n]$ son els voltatges aplicats en resposta a l'enèssim símbol del sinus i cosinus respectivament.

[edita] Receptor

El receptor simplement realitza la funció inversa del transmissor.

La següent figura representa l'estructura ideal del receptor, amb un filtre amb resposta en freqüència Hr.

receptor ideal QAM

Multiplicant per un cosinus (o un sinus) i per un filtre pas baix es possible extreure la component en Fase ( o en quadratura). Un cop extretes només ens cal un desmodulador ASK i els dos fluxos de dades son ajuntats de nou.

A la pràctica hi ha un retard en Fase que no coneixem entre el transmissor i el receptor, que ha de ser compensat per una sincronització de l'oscil·lador del receptor. Tant les variacions en Fase com en freqüència introduïdes per el canal han de ser compensades per les components sinus i cosinus, les quals necessiten una referència de fase, que acostuma a fer servir en Phase-Locked Loop (PLL).

[edita] Digital

Com per a molts sistemes de modulació, el diagrama de constel·lació és una representació molt útil.

En sistemes QAM els punts de la constel·lació estan, habitualment, alineats en una matriu quadrada (alçada igual a l'amplada), tot i que, també són possibles altres distribucions. Des de que a les telecomunicacions la informació és binaria, el nombre de punts a la matriu és habitualment una potencia de 2 (2, 4, 8, 16, 64...). Si la matriu és quadrada les combinacions més habituals són 16-QAM, 64-QAM, 128-QAM i 256-QAM.

Com més alt sigui l'ordre de la constel·lació més bits per símbol podrem transmetre. D'altra banda, si l'energia de la constel·lació ha de ser sempre la mateixa (per a poder fer comparacions entre elles), els punts han d'estar molt més propers, això implica una alta sensibilitat al soroll i altres interferències, i per tant una taxa d'error de bit molt més elevada, així doncs, les modulacions QAM d'ordre més elevat poden transmetre més informació però amb menys fiabilitat que les QAM d'ordre inferior, per a la mateixa energia.

64-QAM i 256-QAM son, habitualment, més emprades en televisió digital per cable i aplicacions de cables per modem. A U.S.A., 64-QAM i 256-QAM son les modulacions específiques per la televisió per cable, a U.K. Es fan servir les modulacions 16-QAM 64-QAM per a les emissions de Televisió Digital terrestre (DVB).

[edita] Realització

Per a poder continuar cal tenir present les següents definicions:

$M$ = Nombre de símbols de la constel·lació
$E b$ = Energia per Bit
$E s$ = Energia per símboll = kEb amb k bits per símbol
N0 = Densitat espctral del Soroll $(W / H z)$
$P b$ = Probabilitat d'Error de Bit
$P b c$ = Probabilitat d'error de bit per portadora
$P s$ = Probabilitat d'error de símbol
$P s c$ =Probabilitat d'error de símbol per portadora

$Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{x}^{\infty}e^{-t^{2}/2}dt,\ x\geq{}0$

$Q (x)$ esta relacionada a la funció complementaria d'error Gaussià

$Q(x) = \frac{1}{2}\operatorname{erfc}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)$

$Q (x)$ és la probabilitat de que “x” estigui per sota de la cua de la Transformada Discreta de Fourier cap al infinit positiu.

Les taxes d'error enunciades, tenen en compte un canal amb soroll Blanc Gaussià additiu (AWGN).

[edita] QAM rectangular

16-QAM

Diagrama de constel·lació per a 16-QAM Rectangular

Les constel·lacions QAM rectangulars no són del tot òptimes en el sentit que no maximitzen l'espai entre els punts de la constel·lació per una energia donada.

D'altra banda, tenen una avantatge considerable, i és que són de fàcil transmissió com a dos senyals portadors en quadratura en PAM (Pulse Amplitude Modulation ), i poden ser fàcilment demodulats.

La primera QAM rectangular més emprada és la 16-QAM, això és degut a que les modulacions 2-QAM i 4-QAM són en realitat BPSK (Binary Phase-Shift Keying) i QPSK (Quadrature Phase-Shift Keying). En quant a 8-QAM la seva taxa d'error és molt similar a la de 16-QAM (només 0.5dB millor) però la seva taxa d'informació és, únicament, tres quartes parts de la 16-QAM.

Les expressions per a la taxa d'error de símbol de les constel·lacions QAM rectangulars no són difícils de derivar, però son bastant complexes. Tenen aquest aspecte:

$P_{sc} = 2\left(1 - \frac{1}{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{3}{M-1}\frac{E_s}{N_0}}\right)$

Així doncs podem obtenir que la probabilitat d'error de símbol és :

$\,P_s = 1 - \left(1 - P_{sc}\right)^2$

La taxa d'error de bit dependrà de l'assignació de bits al símbols, però per a una assignació amb el codi Gray amb igual bits per a la portadora, pot quedar tal que:

$P_{bc} = \frac{4}{k}\left(1 - \frac{1}{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{3k}{M-1}\frac{E_b}{N_0}}\right)$

Obtenim:

$\,P_b = 1 - \left(1 - P_{bc}\right)^2$

[edita] Enllaços externs

Com afecten les imperfeccions a la QAM

[edita] Referències bibliogràfiques

John G. Proakis, "Digital Communications, 3rd Edition", McGraw-Hill Book Co., 1995. ISBN 0-07-113814-5
Leon W. Couch III, "Digital and Analog Communication Systems, 6th Edition", Prentice-Hall, Inc., 2001. ISBN 0-13-081223-4

Categories: Modulacions digitals | Tècniques de telecomunicacions